时间:2016-03-06 13:19:45
2001考研数学一试题及答案解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设
(
为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)设
,则div(gradr)
=_____________.
(3)交换二次积分的积分次序:
＝_____________.
(4)设矩阵
满足
,其中
为单位矩阵,则
=_____________.
(5)设随机变量
的方差是
,则根据切比雪夫不等式有估计
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)设函数
在定义域内可导,
的图形如右图所示,
则
的图形为
(2)设
在点
附近有定义,且
,则
(A) 
.
(B) 曲面
在
处的法向量为{3,1,1}.
(C) 曲线
在处的切向量为{1,0,3}.
(D) 曲线在处的切向量为{3,0,1}.
(3)设
,则在
=0处可导的充要条件为
(A) 
存在. (B) 
存在.
(C) 
存在. (D) 
存在.
(4)设
则与
(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.
(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于
(A)-1. (B) 0. (C) 
. (D) 1.
三、(本题满分6分)
求
.
四、(本题满分6分)
设函数在点
处可微,且
,
,
,
.求
.
五、(本题满分8分)
设=
将展开成的幂级数,并求级数
的和.
六、(本题满分7分)
计算
,其中
是平面
与柱面
的交线,从
轴正向看去,为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设在
内具有二阶连续导数且
,试证:
(1)对于内的任一
,存在惟一的
,使=
+
成立;
(2)
.
八、(本题满分8分)
设有一高度为
(
为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程
(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
九、(本题满分6分)
设
为线性方程组
的一个基础解系,
,
,
,其中
为实常数.试问满足什么条件时,
也为的一个基础解系.
十、(本题满分8分)
已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组
线性无关,且满足
.
(1)记
=（
）,求3阶矩阵,使
;
(2)计算行列式
.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数服从参数为
(
)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
(
),且中途下车与否相互独立.以
表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有
个乘客的条件下,中途有
人下车的概率;
(2)二维随机变量
的概率分布.
十二、(本题满分7分)
设总体服从正态分布
(
),从该总体中抽取简单随机样本
,
,
(
),其样本均值为
,求统计量
的数学期望
.
2001年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是
,从而得知特征方程为
.
由此,所求微分方程为
.
(2)【分析】 先求gradr.
gradr=
.
再求 divgradr=
=
.
于是 divgradr|
=
.
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为
时
.由此看出二次积分
是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
.
由累次积分的内外层积分限可确定积分区域
:
.
见图.现可交换积分次序
原式=
.
(4)【分析】 矩阵的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.
因为 
,
故 
,即 
.
按定义知 
.
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
,
于是 
.
二、选择题
(1)【分析】 当
时,单调增
,(A),(C)不对;
当
时,:增——减——增
:正——负——正,(B)不对,(D)对.
应选(D).
(2)【分析】 我们逐一分析.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由在(0,0)存在两个偏导数
在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.
关于(B)只能假设在(0,0)存在偏导数
,不保证曲面
在
存在切平面.若存在时,法向量n=
{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.
关于(C),该曲线的参数方程为
它在点处的切向量为
.
因此,(C)成立.
(3)【分析】 当
时,
.
关于(A):
,
由此可知 
.
若在
可导
(A)成立,反之若(A)成立 
.如
满足(A),但
不.
关于(D):若在可导,
.
(D)成立.反之(D)成立
在连续,
在可导.如
满足(D),但在处不连续,因而也不.
再看(C):
(当它们都时).
注意,易求得
.因而,若(C)成立.反之若(C)成立
(即
).因为只要
有界,任有(C)成立,如满足(C),但不.
因此,只能选(B).
(4)【分析】 由 
,知矩阵的特征值是4,0,0,0.又因是实对称矩阵,必能相似对角化,所以与对角矩阵相似.
作为实对称矩阵,当
时,知与有相同的特征值,从而二次型
与
有相同的正负惯性指数,因此与合同.
所以本题应当选(A).
注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
与
,
它们的