时间:2016-03-06 13:19:45
2001考研数学一试题及答案解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)
(1)设(为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)设,则div(gradr)=_____________.
(3)交换二次积分的积分次序:=_____________.
(4)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则=_____________.
(5)设随机变量的方差是,则根据切比雪夫不等式有估计
_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,
则的图形为
(2)设在点附近有定义,且,则
(A) .
(B) 曲面在处的法向量为{3,1,1}.
(C) 曲线在处的切向量为{1,0,3}.
(D) 曲线在处的切向量为{3,0,1}.
(3)设,则在=0处可导的充要条件为
(A) 存在. (B) 存在.
(C) 存在. (D) 存在.
(4)设则与
(A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.
(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于
(A)-1. (B) 0. (C) . (D) 1.
三、(本题满分6分)
求.
四、(本题满分6分)
设函数在点处可微,且,,,
.求.
五、(本题满分8分)
设=将展开成的幂级数,并求级数的和.
六、(本题满分7分)
计算,其中是平面与柱面的交线,从轴正向看去,为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设在内具有二阶连续导数且,试证:
(1)对于内的任一,存在惟一的,使=+成立;
(2).
八、(本题满分8分)
设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
九、(本题满分6分)
设为线性方程组的一个基础解系,,,
,其中为实常数.试问满足什么条件时,也为的一个基础解系.
十、(本题满分8分)
已知3阶矩阵与三维向量,使得向量组线性无关,且满足.
(1)记=(),求3阶矩阵,使;
(2)计算行列式.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数服从参数为()的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(),且中途下车与否相互独立.以表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率;
(2)二维随机变量的概率分布.
十二、(本题满分7分)
设总体服从正态分布(),从该总体中抽取简单随机样本,,(),其样本均值为,求统计量的数学期望.
2001年考研数学一试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是,从而得知特征方程为
.
由此,所求微分方程为.
(2)【分析】 先求gradr.
gradr=.
再求 divgradr=
=.
于是 divgradr|=.
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为时
.由此看出二次积分是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
.
由累次积分的内外层积分限可确定积分区域:
.
见图.现可交换积分次序
原式=.
(4)【分析】 矩阵的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.
因为 ,
故 ,即 .
按定义知 .
(5)【分析】 根据切比雪夫不等式
,
于是 .
二、选择题
(1)【分析】 当时,单调增,(A),(C)不对;
当时,:增——减——增:正——负——正,(B)不对,(D)对.
应选(D).
(2)【分析】 我们逐一分析.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由在(0,0)存在两个偏导数在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.
关于(B)只能假设在(0,0)存在偏导数,不保证曲面在
存在切平面.若存在时,法向量n={3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.
关于(C),该曲线的参数方程为 它在点处的切向量为
.
因此,(C)成立.
(3)【分析】 当时,.
关于(A):,
由此可知 .
若在可导(A)成立,反之若(A)成立 .如满足(A),但不.
关于(D):若在可导,
.
(D)成立.反之(D)成立在连续,在可导.如 满足(D),但在处不连续,因而也不.
再看(C):
(当它们都时).
注意,易求得.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即
).因为只要有界,任有(C)成立,如满足(C),但不.
因此,只能选(B).
(4)【分析】 由 ,知矩阵的特征值是4,0,0,0.又因是实对称矩阵,必能相似对角化,所以与对角矩阵相似.
作为实对称矩阵,当时,知与有相同的特征值,从而二次型与有相同的正负惯性指数,因此与合同.
所以本题应当选(A).
注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如
与,
它们的