特征值不同,故与不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以与合同.

 

(5)【分析】 解本题的关键是明确和的关系:,即,在此基础上利用性质:相关系数的绝对值等于1的充要条件是随机变量与之间存在线性关系,即(其中是常数),且当时,;当时,,由此便知,应选(A).

    事实上,,,由此由相关系数的定义式有         .

 

三、【解】   原式=

                =

                =.

 

四、【解】   先求.

求  ,归结为求.由复合函数求导法

                ,

                .

注意            ,.

因此            ,.

 

五、【分析与求解】   关键是将展成幂级数,然后约去因子,再乘上并化简即可.

    直接将展开办不到,但易展开,即

                ,                       ①

积分得  ,. ②

    因为右端积分在时均收敛,又在连续,所以展开式在收敛区间端点成立.

    现将②式两边同乘以得

       

                     =

                     =

                       ,        ,

上式右端当时取值为1,于是

               .

上式中令.

 

六、【解】   用斯托克斯公式来计算.记为平面上所

为围部分.由的定向,按右手法则取上侧,的单位法向量

.

于是由斯托克斯公式得

               

                  =

                  =.

于是             .

按第一类曲面积分化为二重积分得

                ,

其中围在平面上的投影区域(图）.由关于轴的对称性及被积函数的奇偶性得         

             .

   

七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,,,使

                   

(与有关);又由连续而,在不变号,在严格单调,唯一.

     (2)对使用的定义.由题(1)中的式子先解出,则有

                    .

再改写成         .

                    ,

解出,令取极限得 

                    .

 

八、【解】   (1)设时刻雪堆的体积为,侧面积为.时刻雪堆形状如图所示

    先求与.

    侧面方程是.

             .

             .

作极坐标变换:,则

.

            

    用先二后一的积分顺序求三重积分    ,

其中,即.

             .

    (2)按题意列出微分方程与初始条件.

    体积减少的速度是,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即    

将与的表达式代入得      ,即

                .                                                      ①

                .                                                     ②

(3)解①得.    由②得,即.

令,得.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.

 

九、【解】   由于是线性组合,又是的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知均为的解.

    从是的基础解系,知.

    下面来分析线性无关的条件.设,即

                .

由于 线性无关,因此有

                                      

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