;                根据准则1，存在

                     在两边取极限得

                     因此

              （2）原式

                      离散型不能直接用洛必达法则

                     先考虑 

                     用洛必达法则

                                         

                                          .

（19）证明：当时，.

证：令

       只需证明严格单调增加

      

               

严格单调减少

又

故单调增加（严格）

       得证

（20）设函数内具有二阶导数，且满足等式.

（I）验证      ；

（II）若 求函数.

证：（I）

      

      

      

       （II）令

      

（21）已知曲线L的方程

（I）讨论L的凹凸性；

（II）过点引L的切线，求切点，并写出切线的方程；

（III）求此切线与L（对应部分）及x轴所围的平面图形的面积.

解：（I）

             

             

       （II）切线方程为，设，，

              则

              得

              点为（2，3），切线方程为

       （III）设L的方程

则

由于（2，3）在L上，由

(22)已知非齐次线性方程组

                      x₁+x₂+x₃+x₄=-1,

          4x₁+3x₂+5x₃-x₄=-1，

            ax₁+x₂+3x₃+bx₄=1

有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.

② 求a,b的值和方程组的通解.  

解:① 设a₁,a₂,a₃是方程组的3个线性无关的解,则a₂-a₁,a₃-a₁是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.

又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)³2.

两个不等式说明r(A)=2.

② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:

        1  1  1  1  -1       1  1   1     1     -1

(A|b)=  4  3  5 -1  -1  ® 0 –1   1    –5    3    ,

            a  1  3  b   1       0  0  4-2a 4a+b-5  4-2a

由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:

     1  0  2 -4   2

®   0  1 -1  5  -3  .

     0  0  0  0   0

得同解方程组

     x₁=2-2x₃+4x₄，

     x₂=-3+x₃-5x₄，

求出一个特解(2,-3,0,0)^T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)^T,(4,-5,0,1) ^T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)^T+c₁(-2,1,1,0)^T+c₂(4,-5,0,1)^T, c₁,c₂任意.

(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a₁=(-1,2,-1)^T, a₂=(0,-1,1)^T都是齐次线性方程组AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q ^TAQ=L.

解:① 条件说明A(1,1,1)^T=(3,3,3)^T,即 a₀=(1,1,1)^T是A的特征向量,特征值为3.又a₁,a₂都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a₁,a₂线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.

属于3的特征向量:ca₀, c¹0.

属于0的特征向量:c₁a₁+c₂a₂, c₁,c₂不都为0.

② 将a₀单位化,得h₀=(,,)^T.

对a₁,a₂作施密特正交化,的h₁=(0,-,)^T, h₂=(-,,)^T.

作Q=(h₀,h₁,h₂),则Q是正交矩阵,并且

               3  0  0

   Q ^TAQ=Q^-1AQ=  0  0  0  .

               0  0  0

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