2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷

数学考试说明

考试内容和要求(理)

一．必考内容和要求

（一）集合

1.集合的含义与表示

（1）了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系。

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

 

例1.(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是(　　)

例2．已知集合A＝{m＋2,2m²＋m}，若3∈A，则m的值为________．

 

2.集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义。

例1、(2013·洛阳统考)已知集合A＝{x|≤0，x∈N}，B＝{x|≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A．1     B．2      C．4       D．8

例2．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.则实数m的取值范围为________．

3.集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

例1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝(　　)

A．{0，1，2，3，4}  B．{0，4}     C．{1，2}      D．{3}

例2．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁_UA＝(　　　)

A．{1，3，5，6}    B．{2，3，7}   C．{2，4，7}   D．{2，5，7}

例3．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于(  )

A．{x|3≤x<4}    B．{x|3<x<4}     C．{x|2≤x<3}    D．{x|2≤x≤3}

 

 

（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ

1.函数

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列举法、解析法）表示函数。

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）。

（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义。

（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质。

 

例1．[2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．

 

例2．[2014·山东卷] 函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(0，2)   B．(0，2]     C．(2，＋∞)   D．[2，＋∞)

 

例3．[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R且为增函数的是(　　　)

A．y＝e^－x  B．y＝x³      C．y＝ln x   D．y＝|x|

 

 

 

2.指数函数

（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图像。

（4）体会指数函数是一类重要的函数模型。

例1．[2014·安徽卷] 设a＝log₃7，b＝2^1.1，c＝0.8^3.1，则(　)

A．b<a<c  B．c<a<b    C．c<b<a  D．a<c<b

 

例2．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是()

A．f(x)＝x³  B．f(x)＝3^x       C．f(x)＝   D．f(x)＝

 

3.对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像。

（3）体会对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数且与对数函数且互为反函数。

例1．[2014·安徽卷] ＋log₃＋log₃＝________.   

例2．[2014·全国卷] 函数y＝ln(＋1)(x＞－1)的反函数是(　　)

A．y＝(1－e^x)³(x＞－1)      B．y＝(e^x－1)³(x＞－1)

C．y＝(1－e^x)³(x∈R)       D．y＝(e^x－1)³(x∈R)

 

例3．函数y＝ln的图像为(　　)

 

4.幂函数

（1）了解幂函数的概念。

（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况。

例1.图中曲线是幂函数y＝x^α在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C₁，C₂，C₃，C₄的α值依次为________．

 

 

 

 

5.函数与方程

结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性与根的个数。

 

例1．[2014·重庆卷] 已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)

A.∪   B.∪

C.∪   D.∪

例2．[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x²－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　　)

A．{1，3}  B．{－3，－1，1，3}  C．{2－，1，3}  D．{－2－，1，3}

 

6.函数模型及其应用

（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛使用。

 

 

例1．[2014·陕西卷] 如图1­2所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为(　　　)

图1­2

A．y＝x³－x²－x      B．y＝x³＋x²－3x

C．y＝x³－x          D．y＝x³＋x²－2x

 

例2．(2014·威海高三期末)对于函数f(x)，如果存在锐角θ，使得f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f(x)具备角θ的旋转性，下列函数具备角的旋转性的是(　　)

A．y＝     B．y＝ln x    C．y＝^x         D．y＝x²

解：　函数f(x)的图像绕坐标原点逆时针旋转角，相当于x轴、y轴绕坐标原点顺时针旋转角，问题转化为直线y＝x＋k与函数f(x)的图像不能有两个交点，结合图像可知y＝^x与直线y＝x＋k没有两个交点，

（三）立体几何初步

1.空间几何体

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。

（3）会用平行投影方法画出简单图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

例1．(2013·新课标Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ­xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以zOx平面为投影面，则得到的主视图可以为(　　)

例2．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其主视图和左视图是全等的等腰三角形，则主视图的周长为________．

例3．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1­3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图1­3

 

 

 

2.点、直线、平面之间的位置关系

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：

◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

（2）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

理解一下判定定理：

◆  平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

◆  一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行。

◆  一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

◆  一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

理解一下性质定理，并能够证明：

◆  一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

◆  两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

◆  垂直于同一个平面的两条直线平行。

◆  两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

 

 

例1．[2014·辽宁卷] 已知m，n表示