时间:2016-03-06 19:41:08
【答案】A
【考点】常见随机变量的分布
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
若随机变量的概率密度为
则称服从参数为
的指数分布.
在本题中,依题设知,
的概率密度分别为
又与
相互独立,从而
与
的联合概率密度为
于是
故选A.
(8)将长度为的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为 ( )
(A) (B)
(C)
(D)
【答案】D
【考点】相关系数的性质
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
若,则当
时,
;当
时,
.
在本题中,设其中一段木棒长度为,另一段木棒长度为
,显然
,即
,
与
之间有明显的线性关系,从而
.故选D.
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)若函数满足方程
及
,则
【答案】
【考点】二阶常系数齐次线性微分方程
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
有两个不同的实根,微分方程的通解形式为
.
在本题中,因满足
①
②
由①、②,得,
两边乘以得
积分得,即
代入②式得,于是
代入①式自然成立.因此求得.
(10)
【答案】
【考点】定积分的换元积分法
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
第一类换元法
在本题中,
,
其中是半单位圆的面积.
(11)
【答案】
【考点】梯度
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
在本题中,记,则
,
,
因此
(12)设,则
【答案】
【考点】曲面积分的计算
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
曲面积分公式:
在本题中,投影到平面上.
在
平面上的投影区域为
由的方程
,
现将曲面积分化为二重积分,然后求出积分值.
(13)设为3维单位列向量,E为3阶单位矩阵,则矩阵
的秩为
【答案】2
【考点】矩阵的特征值的性质;实对称矩阵的相似对角矩阵
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)若,则
;
(ii)实对称矩阵必可对角化.
在本题中,设,则有
,又
,
易见秩.那么
,
所以矩阵的特征值为1,0,0,从而
的特征值为0,1,1.
又因为对称矩阵,从而
,故
.
(14)设,
,
是随机事件,A与C互不相容,
【答案】
【考点】条件概率
【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
条件概率公式
在本题中,由于与
互不相容,所以
,
,从而
.于是
.
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)证明:
【考点】函数单调性的判别
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
函数单调性的判定法 设函数在
上连续,在
内可导.
①如果在内
,那么函数
在
上单调增加;
②如果在内
,那么函数
在
上单调减少.
证明:令,
则转化为证明(
)
因,即
为偶函数,故只需考察
的情形.
用单调性方法.
,
,
,
其中,
,
因时
,又
在
连续
在
,
(
),同理
在
,
在
,
.又因
为偶函数
,
.即原不等式成立.
(16)求函数的极值.
【考点】多元函数的极值
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
二元函数取得极值的充分条件:设在点
的某邻域有连续的二阶偏导数,又
,
,令
,
,
,则
(1)当时,
在
取极值,且当
时取极小值,
时取极大值;
(2)当时,
不是
的极值点;
(3)当时,仅此不足以判断
是否是
的极值点,还需另作讨论.
在本题中,先求函数的驻点.
解得驻点为,
又
根据判断极值的第二充分条件,
代入(1,0),得,
,
,从而
,
,所以
在(1,0)取得极大值,极大值为
;
代入(-1,0),得,
,
,从而
,
,所以
在(-1,0)取得极小值,极小值为
.
(17)求幂级数的收敛域及和函数.
【考点】幂级数的收敛域、和函数
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)求幂级数收敛域的步骤:
(1)求收敛半径:设,则
(2)讨论端点的敛散性:如果,则需进一步讨论
在
处的敛散性;
(3)写出幂级数的收敛域.
(ii)和函数的性质:
(1)和函数在
内可导,并且有逐项求导公式:
;
(2)在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立,即
.
本题中,直接用求收敛半径的公式,先求
于是收敛半径
当时,原级数=
,第n项的极限即
,所以当
时,原级数发散;同理可证,
时,原级数也是发散的.
因此,原级数的收敛域为.
和函数
令,
,
因为,
所以.
因为,所以
所以
当时,
;
当时,
,
.
所以
(18)已知曲线其中函数
具有连续导数,且
,
.若曲线
的切线与
轴的交点到切点的距离恒为1,求函数
的表达式,并求以曲线
及
轴和
轴无边界的区域的面积.
【考点】导数的几何意义、定积分的应用
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)曲线在点
处的切线方程为
.
(ii)由曲线及直线
,
与
轴所围成的曲边梯形的面积
是定积分
.
(Ⅰ)求.
当时,曲线
在切点
处的切线斜率为
,
切线方程为
令得切线与
轴的交点
的
坐标为
于是点坐标为
,切点
的坐标为
依题设,与
的距离为
,
化简得,
积分得
(Ⅱ)求无界区域的面积
曲线可表为
,当
时
当时
,于是
(19)已知是第一象限中从点
沿圆周
到点
,再沿圆周
到点
的曲线段,计算曲线积分
【考点】格林公式
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
格林公式:
在本题中,记
1);
2)曲线不封闭,添加辅助线
沿
轴由点
到点
.
;
3)在与
围成的区域
上用格林公式(边界取正向,即逆时针方向):
,
因此
(20)设
(I)计算行列式;
(II)当实数为何值时,方程组
有无穷多解,并求其通解.
【考点】行列式按行(列)展开定理;非齐次线性方程组有解的充分必要条件
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即,
或.
(ii)设是
矩阵,方程组
,则方程组有无穷多解
(I)按第一列展开,即得
(II)因为时,方程组
有可能有无穷多解.由(I)知
或
当时,
,
由于,
,故方程组无解.因此,当
时不合题意,应舍去.
当时,
,
由于,故方程组
有无穷多解.选
为自由变量,得方程组通解为:
(
为任意常数).
(21)
已知,二次型
的秩为2
(I)求实数的值;
(II)求正交变换将
化为标准形.
【考点】二次型的秩;实对称矩阵的特征值和特征向量;用正交变换化二次型为标准形
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)实对称矩阵的特性:不同特征值的特征向量互相正交.
(ii)任给二次型,总有正交变换
,使
化为标准形
,其中
是
的矩阵
的特征值.
(I)二次型的秩为2,即
因为,故
.对
作初等变换有
,
所以.
(II)当时,
.由
,
可知矩阵的特征值为0,2,6.
对,由
得基础解系
,
对,由
得基础解系
,
对,由
得基础解系
.
实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,故只需单位化.
,
,
.
那么令,就有
.
(22)
设二维离散型随机变量的概率分布为
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
2 |
|
0 |
|
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求.
【考点】随机变量的数学期望、方差;协方差及其性质
【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i);
(ii),
,
.
(Ⅰ)由随机变量的概率分布可知,
(Ⅱ)由条件知
,
,
,
从而,
,
,
又,于是
.
(23)
设随机变量与
相互独立且分别服从正态分布
与
,其中
是未知参数且
.设
(Ⅰ)求的概率密度
(Ⅱ)设为来自总体
的简单随机样本,求
的最大似然估计量
(Ⅲ)证明为
的无偏估计量
【考点】常见随机变量的分布;最大似然估计法;估计量的评选标准
【难易度】★★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)正态分布 ,
(ii)似然函数 ,对数似然方程
(iii)若估计量的数学期望
存在,且对于任意
有
,则称
是未知参数
的无偏估计量.
(Ⅰ)由条件知服从正态分布,且
,
,
即,从而
的概率密度为
,
.
(Ⅱ)由条件知似然函数为
,
,
,
,
令,解得
.
于是的最大似然估计量为
.
(Ⅲ)由于
,
从而可知,为
的无偏估计量.