2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

1、     曲线的拐点是（  ）

A  （1，0）     B （2，0）      C  （3，0）      D （4，0）

2、设数列单调减少，且。无界，则幂级数的收敛域为（   ）

A        B        C         D 

3、     设函数具有二阶连续的导数，且.。则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（  ）

A                   B 

C                   D 

4、设     ，则 的大小关系是（    ）

A       B           C        D  

5、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B ，再交换B的第二行与第3行得到单位阵E，记，，则A=（    ）

A          B         C              D   

6、设是4阶矩阵，为A的伴随矩阵。若是的一个基础解系，则的基础解系可为（    ）

A           B           C          D  

7、设为两个分布函数，且连续函数为相应的概率密度，则必为概率密度的是（   ）

A     B      C      D +

8、设随机变量相互独立，且都存在，记，则（    ）

A     B        C           D  

二、填空题：9—14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上。

9、曲线的弧长为_____________

10、微分方程满足条件的解为________________

11、设函数，则

12、设是柱面方程与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分

13、若二次曲面的方程，经正交变换化为，则

14、设二维随机变量，则

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15、（本题满分10分）  求极限

16、（本题满分9分）

设函数，其中具有二阶连续的偏导数，函数可导且在处取得极值.求

17、（本题满分10分）

求方程的不同实根的个数，其中为参数。

18、（本题满分10分）

①证明：对任意的正整数，都有成立；

②设，证明数列收敛.

19、（本题满分11分）

已知函数具有二阶连续的偏导数，且，其中计算二重积分

20、（本题满分11分）

设向量组，，不能由向量组，，线性表示；

（1） 求的值；

（2） 将用线性表示；

21、（本题满分11分）

A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且

求（1）A的特征值与特征向量  （2） 矩阵A

22、（本题满分11分）

设随机变量X与Y的概率分布分别为

X	0	1

 

 

Y	-1	0	1

且

求（1）二维随机变量（X，Y）的概率分布；

   （2）的概率分布

（3）X与Y的相关系数

23、（本题满分11分）

设是来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知.为样本均值和样本方差.

求（1）求参数的最大似然估计

   (2) 计算E和D

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

答案速查：

一、选择题

（1）	（2）	（3）	（4）	（5）	（6）	（7）	（8）
C	C	A	B	D	D	D	B

二、填空题

（9）	（10）	（11）	（12）	（13）	（14）
		4		1

三、解答题

（15）

（16）

（17）当时，原方程有三个根；当时，原方程有一个根.

（18）略

（19）

（20）（I） ；（II） ，，

（21）（I） 的特征值为-1，1，0，对应的特征向量为，， （II）

（22）（I） 的概率分布为

 

 

 

 

 （II） 的概率分布为

 

 

 

（III）

（23）（Ⅰ） ；（Ⅱ） ，

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1） 曲线的拐点是  （    ）

（A）            （B）           （C）           （D）

【答案】（C）

【考点】函数图形的拐点

【难易度】★★

【详解】

解析：由可知分别是

的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知，

，，，故（3，0）是一拐点.

（2） 设数列单调减少，，无界，则幂级数的收敛域为 （    ）

（A）     （B）     （C）     （D）

【答案】（C）

【考点】莱布尼茨定理；幂级数的收敛区间和收敛域

【难易度】★★★

【详解】

解析：无界，说明幂级数的收敛半径；

单调减少，，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径.

因此，幂级数的收敛半径，收敛区间为.又由于时幂级数收敛，时幂级数发散.可知收敛域为.

（3） 设函数具有二阶连续导数，且，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是  （    ）

（A） ，      （B） ，

（C） ，      （D） ，

【答案】（A）

【考点】多元函数的极值

【难易度】★★★

【详解】

解析：由知，

，

所以，，

要使得函数在点(0,0)处取得极小值，仅需

，

所以有

（4） 设，，，则的大小关系是（    ）

（A）     （B）     （C）     （D）

【答案】（B）

【考点】定积分的基本性质

【难易度】★★

【详解】

解析：如图所示，因为时，

，

因此

，故选（B）

（5） 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A= （    ）

（A）                （B）             （C）           （D）

【答案】（D）

【考点】矩阵的初等变换

【难易度】★★

【详解】

解析：由初等矩阵与初等变换的关系知，，

所以，故选（D）

（6） 设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组Ax=0的一个基础解系，则的基础解系可为 （    ）

（A）            （B）           （C）          （D）

【答案】（D）

【考点】★★★

【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系

【详解】

解析：由的基础解系只有一个知，所以，又由知，都是的解，且的极大线生无关组就是其基础解系，又

，所以线性相关，故或为极大无关组，故应选（D）.

（7） 设,为两个分布函数，其相应的概率密度,是连续函数，