时间:2016-03-06 19:02:50
又由于
，对上（*）式两边取
时的极限可得：
故
存在，且
。
法二：利用洛必达法则：
由题设
，故存在，且。
（19）（本题满分10分）
计算曲面积分
其中
是曲面
的外侧。
【分析】考查封闭曲面上第二类曲面积分的计算。首先在所围立体内做有向闭曲面
挖去“瑕点” ，然后分别利用高斯公式计算。
【详解】
，其中
因为 
①
②
③
所以①+②+③=
由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，不能直接使用高斯公式。
令 
（其中
为很小的正数，使得在所围立体内），取内侧。有
评注：在计算线积分或面积分时，可以将积分曲面或积分曲线的方程带入被积函数化简。
（20）（本题满分11分）
设
（I）求满足
的所有向量
；
（II）对（I）中的任一向量，证明：
线性无关。
【分析】本题考查矩阵的运算、非齐次线性方程组求解、解的结构，线性无关的判定（三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零），行列式的计算等。
【详解】（I）解方程
，
。
故
，其中
为任意常数。
解方程组
，由于
，而
故
，其中
为任意常数。
（II）法一：由于
。
故线性无关。
法二：由题设可知：
。设存在常数
，使得
-------------------------------①
用
左乘①式两端得：
，所以
，即
------------------------------②
用左乘②式两端得：
，所以
，即
，所以
，代入②得
，最后由①得
。从而线性无关。
（21）（本题满分11分）
设二次型
（Ⅰ）求二次型
的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型的规范形为
，求
的值。
【分析】本题考查二次型的矩阵、求矩阵的特征值、二次型的规范形、惯性定理等。题中二次型带有参数，所以其特征值也会含有，在计算其特征多项式时要仔细。第（Ⅱ）问的关键是对规范形的理解。二次型的规范形所提供的信息是其秩及正惯性指数分别是多少，正是由此知道该二次型有两个特征值为正，一个为零，从而可以确定的值。
【详解】（I）
。
。
所以二次型的矩阵A的特征值为
、
、
。
（II）法一：若二次型的规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则
若
，则 
，
，不符题意；
若
，即
，则
，
，符合题意；
若
，即
，则
，
，不符题意。
综上所述，故
法二：由的规范形为知，其矩阵的特征值有两个为正数，一个为零。又
，所以
，即。
（22）（本题满分 11 分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以
分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求二维随机变量
的概率分布。
【分析】本题属于古典概型的题目，只要用排列组合的技巧就可以解决。（Ⅰ）的计算也可利用条件概率公式，关键是计算
和
。
【详解】（I）法一：在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以
。
法二：
；
（II）
取值范围为0，1，2，故
，
，
，
，
|
Y X |
0 |
1 |
2 |
|
0 |
1/4 |
1/6 |
1/36 |
|
1 |
1/3 |
1/9 |
0 |
|
2 |
1/9 |
0 |
0 |
（23）（本题满分 11 分）
设总体
的概率密度为
，其中参数
未知，
，
,…
是来自总体的简单随机样本
(Ⅰ)求参数
的矩估计量；
（Ⅱ）求参数的最大似然估计量
【分析】 本题考查矩估计和最大似然估计，利用固定的解法步骤完成即可。
【详解】（I）由
，令
，可得总体参数的矩估计量
。
（II）构造似然函数
取对数
令
，故其最大似然估计量为
。