2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

 

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 曲线 的斜渐近线方程为                  

(2) 微分方程满足的解为.

(3) 设函数，单位向量，则

=_______________.

(4) 设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的

整个边界的外侧，则___________________.

(5) 设均为3维列向量，记矩阵

，，

如果，那么    .

(6) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为, 再从中任取一个数，记为, 则

=   ___________  .

 

二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数，则在内(  )

(A)  处处可导.                (B)  恰有一个不可导点.

(C)  恰有两个不可导点.        (D)  至少有三个不可导点.                    

(8) 设是连续函数的一个原函数，表示“的充分必要条件是”，

则必有(  )

(A)是偶函数是奇函数.      (B)是奇函数是偶函数.

(C)是周期函数是周期函数.  (D)是单调函数是单调函数.                                 

(9) 设函数, 其中函数具有二阶导数，具有

一阶导数，则必有(  )

(A)  .                   (B) .

(C)  .                    (D)  .      

(10) 设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，

在此邻域内该方程(  )

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数. 

(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和和.

(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和.

(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和.         

(11) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，

线性无关的充分必要条件是(  )

(A)  .       (B)  .     (C) .     (D) .                

(12) 设为()阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵, 分别为,

的伴随矩阵，则(  )

(A) 交换的第1列与第2列得.       (B)  交换的第1行与第2行得.

(C) 交换的第1列与第2列得.     (D)  交换的第1行与第2行得.  

(13) 设二维随机变量的概率分布为(  )

               0        1

          0        0.4      

          1                0.1

已知随机事件与相互独立，则

(A)             (B)   

(C)               (D)                     

(14) 设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(  )

(A)                (B)  

(C)           (D)        

 

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

 

(15)(本题满分11分)

设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分

 

(16)(本题满分12分)

求幂级数的收敛区间与和函数.

 

(17)(本题满分11分)

如图，曲线的方程为，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数具有三阶连续导数，计算定积分

 

(18)(本题满分12分)

已知函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且. 证明：

(I)存在 使得；

(II)存在两个不同的点，使得

 

(19)(本题满分12分)

设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数.

(I)证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；

(II)求函数的表达式.

 

(20)(本题满分9分)

已知二次型的秩为2.

(I) 求的值；

(II) 求正交变换，把化成标准形；

(III) 求方程=0的解.

 

(21)(本题满分9分)

已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵(为常数)，且, 求线性方程组的通解.

 

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量的概率密度为

求：(I) 的边缘概率密度；

   (II)的概率密度

 

(23)(本题满分9分)

设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，记

求：(I) 的方差；     (II)与的协方差

 

 

 

2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

 

一、填空题

(1)【答案】

【详解】由求斜渐近线公式(其中，)，得：  =，

，

所以所求斜渐近线方程为

 

(2)【答案】

【详解】求方程的解，有公式

 (其中是常数).

将原方程等价化为  ，于是利用公式得方程的通解

=, (其中是常数)

由得，故所求解为

 

(3)【答案】

【详解】设有连续的一阶偏导数,为给定的向量的单位向量,则沿方向的方向导数计算公式为.

因为,所以 ，，，且向量的

于是所求方向导数为=

 

(4)【答案】

【详解】如果设函数在上具有一阶连续偏导数,则有：

，

其中是的整个边界曲面的外侧.

以表示由与所围成的有界闭区域，由高斯公式得

利用球面坐标得

=

 

(5)【答案】2

【详解】

方法1：因为，，

，

故  =，

记，两边取行列式，于是有

方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)

又因为，故.

 

(6)【答案】

【详解】 由全概率公式：

=+

              ++

表示从数1,2,3,4中任取一个数，故是等可能取到1,2,3,4，所以，

而表示从中任取一个数，也就是说是等可能取到

也就是说的条件下等可能取值，即

(取1的条件下，取2是不可能事件)

(取2的条件下，在1，2等可能取值)

(取3的条件下，在1，2，3等可能取值)

(取4的条件下，在1，2，3，4等可能取值)

故  =+

++

 

二、选择题

(7)【答案】C

【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，

当时，有，命取极限，得，，由夹逼准则得；

当时，；

当时，，命取极限，得，由夹逼准则得

所以     

再讨论的不可导点. 按导数定义，易知处不可导，故应选(C).

 

(8)【答案】A

【详解】 

方法