时间:2016-03-06 15:41:52
函数
的任一原函数可表示为
，且
当
为偶函数时，有
，于是
，即
，亦即
，可见为奇函数；
反过来，若为奇函数，则
，令
，则有
，所以 
，
从而 为偶函数，可见(A)为正确选项.
方法2：排除法，
令
, 则取
, 排除(B)、(C);
令
， 则取
, 排除(D);
(9)【答案】B
【详解】因为
，
，
于是 
，
，
，
可见有
，应选(B).
(10)【答案】D
【详解】隐函数存在定理：设
在点
的某领域内具有连续的一阶偏导数，且
.则存在点
的某邻域,在此邻域内由方程
可以确定唯一的连续偏导数的函数
满足
,且
同理，如果
,可确定
满足
;
,可确定
满足
.
本题中可令
, 则
， 
，
，
所以 
，
，
.
由于，所以由隐函数存在定理知，不一定能确定具有连续偏导数的函数，所以排除(A)、(B)、(C)，而和，所以可确定两个具有连续偏导数的隐函数和，故应选(D).
(11)【答案】B
【详解】
方法1：利用线性无关的定义
分别是特征值
对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有
.
设有数
，使得
，则
.
因
，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故
线性无关，则
当
时，方程只有零解，则
，此时
，
线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有
(否则，与=
线性相关)，故应选(B).
方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.
由于 
，
因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知线性无关. 若，线性无关，则
，则
，
故
，从而
，从而
若，则，又线性无关，则
，
则
从而，线性无关的充要条件是
故应选(B).
方法3：利用矩阵的秩
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.
因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，又
，故，线性无关
又因为 
则
(若
，与
矛盾)
方法4：利用线性齐次方程组
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.
由，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，
线性无关
线性无关
，
只有零解，又
只有零解
线性无关时
只有零解，故
，只有零解，
的系数矩阵是个可逆矩阵，
，故应选(B)
方法5：由，线性无关
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.
向量组
和向量组
. 显然向量组
可以由向量组
线性表出；当
时，不论
的取值如何，向量组可以由向量组线性表出
，
，
从而，是等价向量组
当时，
(12)【答案】(C)
【详解】
方法1：由题设，存在初等矩阵
(交换
阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得
，(
进行行变换，故左乘初等矩阵)，于是 
，
又初等矩阵都是可逆的，故 
，
又
(行列式的两行互换，行列式反号)，
，故
，
即
,可见应选(C).
方法2：交换
的第一行与第二行得
，即
.
又因为是可逆阵，，故
，
所以可逆，且
.
又
，故
，又因
，故.
(13)【答案】B
【详解】
方法1：由二维离散型随机变量联合概率分布的性质
， 有
，
可知
，又事件
与
相互独立，于是由独立的定义有：
，
而 
由边缘分布的定义：
代入独立等式，得
，解得
，
方法2：如果把独立性理解为：
(因为独立，所以发生与发不发生没有关系)，即
所以 
;
因此 
上式两边同乘以
，有
由乘法公式：
，上式即为
即
. 又因为
，得
.
(14)【答案】D
【概念】
分布的定义：若
，
，则
分布的定义：若
相互独立，且都服从标准正态分布
，则
正态分布标准化的定义：若
，则
【详解】因
为来自总体的简单随机样本，独立正态分布的线性组合也服从正态分布，故
.
将其标准化有：
，故(A)错
又
，故(C)错;
而
，不能断定(B)是正确选项.
又 
，且
相互独立，于是
故应选(D).
三、解答题
(15)【详解】
方法1：令 
，
.
于是有 
从而
=
(二重积分对区域的可加性)
(用极坐标把不同区域上的二重积分化为累次积分)
(根据牛—莱公式)
(凑微分)
=
方法2：用极坐标
(根据牛—莱公式)
.
而 
从而 
(定积分对区域的可加性)
(根据牛—莱公式)
(16)【详解】因为
，
所以，由比值判别法知，当
时，原级数绝对收敛，当
时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(－1,1). 另外，当
时由于通项极限不为零，故原幂级数在处为发散的.
，
对
，由等比级数求和公式
得
，
对
，则由幂级数在收敛区间上可导并有逐项求导公式得
同理可得
，
可得
所以，由牛—莱公式得
同理得
(分部积分)
(计算出微分)
(凑微分)
(基本积分表中的公式)
从而 
， .
(17)【详解】由直线
过
和
两点知直线的斜率为2. 由直线是曲线
在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知
. 同理可得
. 另外由点(3,2)是曲线的一个拐点知
由分部积分公式，
=
=
(18)【详解】
(I) 令
，则在[0，1]上连续，且
, 
,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在
使得
，即
.
(II) 在
和
上对分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点
，使得
，
于是 
(19)【详解】
(I) 如图，将分解为：
，另作
一条曲线
围绕原点且与相接，则
.
(II) 设
，
在单连通区域
内具有一阶连续偏导数，由(I)知，曲线积分
在该区域内与路径无关，故当时，总有
. 经计算，
①
②
③
比较①、②两式的右端，得
④
由③得
，将
代入④得 
所以
，从而
(20)【详解】 (I) 二次型对应矩阵为
，
由二次型的秩为2，知
，所以
，
，
得
.
(II) 当时，
， 所以
两边取行列式，
令
，解得
，故有特征值为.
当
时，根据特征值的定义，有
，即
，
，因为未知数个数为3，故的基础解系中含有2个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解，同解方程组为
，选
为自由未知量，分别取
和
，得特征向量为：
，
(根据特征向量的定义，即为特征值所对应的特征向量)因为
，故正交.
当
时，由
，即
，
对系数矩阵作初等行变换，
，
故
，
基础解系中含有1个(未知量的个数—系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组
，
选
为自由未知量，取
(选取任意非零常数都可，因为特征向量必须为非零向量，不能选0) ，得特征向量为：
由于实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，故，
两两正交，将，
单位化，
，
其中
，
，
取
，即为所求的正交变换矩阵，故
，则
，令
，则
，
可化原二次型为标准形：
=
(III) 方法1：由
=
0，得
(因为方程中不含有
)则
(
为任意常数). 从而所求解为：
=
，
其中
为任意常数.
方法2：用配方法，方程
，得
，
系数矩阵
的秩为2，因为未知数的个数为3，故它的基础解系中含有1个(未知数的个数—系数矩阵的秩)线性无关的解向量，选
为自由未知量，取
，解得
，
所以，
的解为
，为任意常数.
(21)【详解】 由
知，的每一列均为
的解，且
(3是的列数或的行数)
(1) 若
, 
不成比例，
成比例，则
, 方程组的解向量中至少有两个线性无关的解向量，故它的基础解系中解向量的个数
，又基础解系中解向量的个数=未知数的个数
，于是
.
又矩阵的第一行元素
不全为零，显然
, 故
. 可见此时的基础解系由
个线性无关解向量组成，是方程组的解且线性无关，可作为其基础解系，故 的通解为：
为任意常数.
(2) 若
，则
均成比例，故
=1, 从而
故或
.
①若, 则方程组的基础解系由一个线性无关的解组成，
是方程组的基础解系， 则的通解为：
为任意常数.
②若, 则的三个行向量成比例，因第1行元素不全为零，不妨设
，则的同解方程组为：
, 系数矩阵的秩为1，故基础解系由
个线性无关解向量组成，选为自由未知量，分别取或，方程组的基础解系为
，则其通解为
为任意常数.
(22)【详解】(I)由边缘密度函数的定义：
，
则关于
的边缘概率密度为：
=
=
=
关于
的边缘概率密度
=
=
=
(因为
，故
的取值范围为
)
(II)由分布函数的定义： 
(1) 当
时，
(由定义域为
，
，故
，则
是不可能事件)
(2) 当
时, 如图转换成阴影部分的二重积分
=
=
;
(3) 当
时，
(因最大取1，最小取0，故
最大就只能取到2，所以
是必然事件)
所以分布函数为： 
由密度函数与分布函数的关系：
故所求的概率密度为：
(23)【详解】由题设
为来自总体
的简单随机样本，知相互独立，且
，
(方差的性质：
,
(
独立))
(根据期望的性质：
)
(I)
(由于
不独立，所以把
中含有
的剔出来，则与剩下的就相互独立)
=
=
(方差