时间:2016-03-06 13:22:11
2002考研数学一真题及答案详解
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)= _____________.
(2)已知,则=_____________.
(3)满足初始条件的特解是_____________.
(4)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_____________.
(5)设随机变量,且二次方程无实根的概率为0.5,则=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数的四条性质:
①在点处连续, ②在点处的一阶偏导数连续,
③在点处可微, ④在点处的一阶偏导数存在.
则有:
(A)②③① (B)③②①
(C)③④① (D)③①④
(2)设,且,则级数为
(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.
(3)设函数在上有界且可导,则
(A)当时,必有 (B)当存在时,必有
(C) 当时,必有 (D) 当存在时,必有.
(4)设有三张不同平面,其方程为()它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设和是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和,则
(A)+必为密度函数 (B) 必为密度函数
(C)+必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数在的某邻域具有一阶连续导数,且,当时,若,试求的值.
四、(本题满分7分)
已知两曲线与在点处的切线相同.求此切线的方程,并求极限.
五、(本题满分7分)
计算二重积分,其中.
六、(本题满分8分)
设函数在上具有一阶连续导数,是上半平面(>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(),终点为().
记,
(1)证明曲线积分与路径无关.
(2)当时,求的值.
七、(本题满分7分)
(1)验证函数()满足微分方程.
(2)求幂级数的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.
(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为,写出的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.
十、(本题满分8分)
设为同阶方阵,
(1)若相似,证明的特征多项式相等.
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量的概率密度为
对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.
十二、(本题满分7分)
设总体的概率分布为
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
其中()是未知参数,利用总体的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.
求的矩估计和最大似然估计值.
2002年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析】 原式 (2)【分析】 方程两边对两次求导得 ① ② 以代入原方程得,以代入①得,再以代入②得 (3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程. 令(以为自变量),则 代入方程得 ,即(或,但其不满足初始条件). 分离变量得 积分得 即(对应); 由时得于是 积分得. 又由得所求特解为 (4)【分析】 因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值. 又因,故 (5)【分析】 设事件表示“二次方程无实根”,则 依题意,有 而 即 二、选择题 (1)【分析】 这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A). (2)【分析】 由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性. 按定义考察部分和
原级数收敛. 再考察取绝对值后的级数.注意 发散发散.因此选(C). (3)【分析】 证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理, (当时,,因为);但这与矛盾 (4)【分析】 因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B). (A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 (C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和 ,且中任两个平行向量都线性无关. 类似地,(D)中有两个平面平行,故,,且中有两个平行向量共线. (5)【分析】 首先可以否定选项(A)与(C),因 对于选项(B),若则对任何 ,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). 进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是
三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知 由于,故必有 又由洛必达法则
及,则有. 综上,得 四、【解】 由已知条件得 故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得 五、【分析与求解】 是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示 &n