时间:2016-03-06 13:22:11
于是要用分块积分法,用
将
分成两块:
(关于对称)
(选择积分顺序)
六、【分析与求解】 (1)易知
原函数,
在
上原函数,即
.
积分在与路径无关.
(2)因找到了原函数,立即可得
七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数
的收敛域是
,因而可在上逐项求导数,得
,
,
所以 
.
(2)与
相应的齐次微分方程为
,
其特征方程为
,特征根为
.
因此齐次微分方程的通解为
.
设非齐次微分方程的特解为
,将
代入方程可得
,即有
.
于是,方程通解为
.
当
时,有
于是幂级数
的和函数为
八、【分析与求解】 (1)由梯度向量的重要性质:函数
在点
处沿该点的梯度方向
方向导数取最大值即
的模,
(2)按题意,即求
求在条件
下的最大值点
在条件下的最大值点.
这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数
则有 
解此方程组:将①式与②式相加得
或
若
,则由③式得
即
若
由①或②均得,代入③式得
即
于是得可能的条件极值点
现比较
在这些点的函数值:
因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在
中取到.因此
在
取到在的边界上的最大值,即可作为攀登的起点.
九、【解】 由
线性无关及
知,向量组的秩
,即矩阵
的秩为
因此
的基础解系中只包含一个向量.那么由
知,的基础解系是
再由
知,
是
的一个特解.故的通解是
其中
为任意常数.
十、【解】 (1)若
相似,那么存在可逆矩阵
,使
故
(2)令
那么
但不相似.否则,存在可逆矩阵,使
.从而
,矛盾,亦可从
而知与
不相似.
(3)由均为实对称矩阵知,均相似于对角阵,若的特征多项式相等,记特征多项式的根为
则有
相似于
也相似于
即存在可逆矩阵
,使
于是
由
为可逆矩阵知,与相似.
十一、【解】 由于
依题意,
服从二项分布
,则有
十二、【解】 
的矩估计量为
根据给定的样本观察值计算
因此的矩估计值
对于给定的样本值似然函数为
令
,得方程
,解得
(
不合题意).
于是的最大似然估计值为