时间:2016-03-06 12:47:36
.
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数
都在点
具有对
及对
的偏导数,函数
在对应点
具有连续偏导数,则复合函数
在点的两个偏导数存在,且有
；
.
(2)【解析】方法一：用重积分的方法.
将累次积分
表成二重积分
,
其中
如右图所示.交换积分次序
.
由于定积分与积分变量无关,改写成
.
.
方法二：用分部积分法.
注意
,将累次积分
写成
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分.)
(1)【解析】将曲面积分化为二重积分
.
首先确定被积函数 
,
对锥面
而言, 
.
其次确定积分区域即
在
平面的投影区域
(见右图),按题意：
,即
.
.
作极坐标变换
,则
,
因此 
.
(2)【解析】这就是将
作偶延拓后再作周期为4的周期延拓.于是得的傅氏系数：
.
由于(延拓后)在
分段单调、连续且
.于是有展开式
.
五、(本题满分7分)
【解析】设点
的坐标为,则处的切线方程为 
.
令
,得
,切线与轴的交点为
.由
,有
.
化简后得伯努利方程 
.
令
,方程化为一阶线性方程 
.
解得 
,即 
,亦即 
.
又由
,得
,
的方程为 
.
六、(本题满分8分)
【解析】在平面上
与路径无关(其中
有连续偏导数),
,即 
.
对积分得 
,其中
待定.代入另一等式得对
,
. ①
下面由此等式求.
方法一：易求得原函数
于是由①式得 
.
即 
,亦即 
.
求导得 
,即 
.
因此 
.
方法二：取特殊的积分路径：对①式左端与右端积分分别取积分路径如下图所示.
于是得 
.
即 
,亦即 
.
其余与方法一相同.
七、(本题满分8分)
【解析】(1)反证法.假设
,使
.则由罗尔定理,
与
使
；从而由罗尔定理, 
,
.这与
矛盾.
(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”
这应该从所要证明的结果来考察.由证明的结果可以看出本题即证
在
存在零点.
方法一：注意到 
,
考察的原函数,令
,
在
可导,
.由罗尔定理,
,使
.即有
,亦即 
.
方法二：若不能像前面那样观察到的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：
.
(取
).
令,其余与方法一相同.
八、(本题满分7分)
【解析】设对应于
的特征向量为
,因为
为实对称矩阵,且实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交,故
,即
.
解之得 
.
于是有 
,
所以 
.
九、(本题满分6分)
【解析】方法一：根据
有
,
移项得 
.
因为
,故
.所以
.
方法二：因为
,
所以 
,
即 .
因为,故.所以.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1)【解析】由题设,因为是独立重复实验,所以
服从
的二项分布.
由二项分布的数学期望和方差计算公式,有
,
根据方差性质有 
.
(2)【解析】令
,则
.
由概率的广义加法公式 
,有
十一、(本题满分6分)
【解析】方法1：用分布函数法先求
的分布函数
.
当
时, 
当
时, 
所以由连续型随机变量的概率密度是分布函数的微分,得
或者直接将
对求导数得
方法2：用单调函数公式直接求的概率密度.
由于
在
内单调,其反函数
在
内可导且其导数为
,则所求概率密度函数为
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若
,
,
均一阶可导,则
.