时间:2016-03-06 12:25:41
, 
.
因而 
,应选(D).
(2)【答案】(D)
【解析】
在点
连续不能保证在点存在偏导数
.反之,在点存在这两个偏导数也不能保证在点连续,因此应选(D).
二元函数在点处两个偏导数存在和在点处连续并没有相关性.
(3)【答案】(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
,
(第一个不等式是由
得到的.)
又
收敛,
收敛,(此为
级数：
当
时收敛；当
时发散.)
所以
收敛,由比较判别法,得
收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C).
(4)【答案】(D)
【解析】因为 
,
故 
,
,
因此,原式左边
原式右边,
.
当
时,极限为0；
当
时,极限为
,均与题设矛盾,应选(D).
【相关知识点】1.无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,
为无穷小且存在极限 
（1） 若
称在该极限过程中为同阶无穷小；
（2） 若
称在该极限过程中为等价无穷小,记为
；
（3） 若
称在该极限过程中
是
的高阶无穷小,记为
.
若
不存在(不为),称不可比较.
2. 无穷小量的性质：当
时,为无穷小,则
.
(5)【答案】(C)
【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.
(A)：由于
,所以(A)线性相关.
(B)：由于
,所以(B)线性相关.
对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由
的系数构成的行列式,即
,
由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C).
当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由
,
知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).
【相关知识点】
线性相关的充分必要条件是存在某
可以由
线性表出.
线性无关的充分必要条件是任意一个均不能由
线性表出.
三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)
(1)【解析】
同理 
,
代入参数值 
,
则 
, 
.
【相关知识点】1.复合函数求导法则:如果
在点
可导,而
在点可导,则复合函数
在点可导,且其导数为
或 
.
2.对积分上限的函数的求导公式：若
,
,
均一阶可导,则
.
(2)【解析】
.
先求
的展开式.将
微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由
该级数在端点
处的收敛性,视而定.特别地,当
时,有
得 
,
积分,由牛顿-莱布尼茨公式得
.
(3)【解析】方法1：利用三角函数的二倍角公式
,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得
(
)
,
其中
为任意常数.
方法2：换元
后,有
原式
.
用待定系数法将被积函数分解:
,
.
于是,
.
四、(本题满分6分)
【解析】求第二类曲面积分的基本方法:套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.
这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若
垂直
平面,则
.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.
先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.
方法1：注意 
,(因为
关于
平面对称,被积函数关于
轴对称)
所以 
.
由上下底圆及圆柱面组成.分别记为
. 
与平面垂直
.
在
上将
代入被积表达式
.
在
平面上投影区域为
,在上,
,关于平面对称,被积函数对为奇函数,可以推出
.
方法2：是封闭曲面,它围成的区域记为
,记 
.
再用高斯公式得 
(先一后二的求三重积分方法)
其中
是圆域：
.
【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数
、
、
在上具有一阶连续偏导数,则有
或 
这里是的整个边界曲面的外侧,
、
、
是在点
处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
五、(本题满分9分)
【解析】由全微分方程的条件,有
,
即 
,亦即 
.
因而是初值问题 
的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为
的根为
,原方程右端
中的
,不同于两个特征根,所以方程有特解形如 
.
代入方程可求得 
,则特解为
.
由题给
,解得 
.
的解析式代入原方程,则有
.
先用凑微分法求左端微分式的原函数：
,
.
其通解为 
其中为任意常数.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设
是二阶线性非齐次方程
的一个特解.
是与之对应的齐次方程
的通解,则
是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的
、
均是常数,方程变为
.其特征方程写为
,在复数域内解出两个特征根
；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根,则通解为
(2) 两个相等的实数根
,则通解为
(3) 一对共轭复根
,则通解为
其中
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：
如果
则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中
是与
相同次数的多项式,而
按
不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果
,则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
,
其中
与
是
次多项式,
,而按
(或
)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为
或
.
六、(本题满分8分)
【解析】
表明
时是比高阶的无穷小,若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小,
从而
也是
的阶或高于阶的无穷小,这就证明了级数
绝对收敛.
方法一：由及的连续性得知
,再由在点
的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,
为“
”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有
.
由函数极限与数列极限的关系 
.
因
收敛
收敛,即 绝对收敛.
方法二：由得知,可用泰勒公式来实现估计.在点有泰勒公式：
因在点的某一领域内具有二阶连续导数,
在
有界,即
,有
.
对此
,
时,
.
又收敛收敛,即 绝对收敛.
【相关知识点】正项级数的比较判别法：
设
和
都是正项级数,且
则
⑴ 当
时,和同时收敛或同时发散；
⑵ 当
时,若收敛,则收敛；若发散,则发散；
⑶ 当
时,若收敛,则收敛；若发散,则发散.
七、(本题满分6分)
【解析】方法1：用定积分.
设高度为处的截面
的面积为
,则所求体积
.
所在的直线的方向向量为
,且过
点,
所以所在的直线方程为 
或 
.
截面是个圆形,其半径的平方 
,则面积
,
由此 
.
方法2：用三重积分.
,
或者 
.
八、(本题满分8分)
【解析】(1)由已知,
的系数矩阵,
.
由于
所以解空间的维数是2.
取
为自由变量,分别令
,求出
的解.
故的基础解系可取为 
.
(2)方程组和
有非零公共解.
将的通解 
代入方程组,则有
.
那么当
时,向量
是与的非零公共解.
九、(本题满分6分)
【解析】证法一：由于 
,根据
的定义有
,其中
是行列式
中
的代数余子式.
由于
,不妨设
,那么
,
故 
.
证法二：(反证法)若
,则
.
设的行向量为
,则 
.
于是 
.
进而有,这与是非零矩阵相矛盾.故.
十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)
(1)【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有
.
因题目已知 
,故有
,
.
(2)【解析】由于
、
相互独立且同分布,只能取0、1两个数值,易见随机变量
只取0与1两个可能的值,且
,
.
所以随机变量的分布律为：
|
|
0 1 |
|
|
|
十一、(本题满分6分)
【解析】此题的第一小问是求数学期望
和方差
,是个常规问题；(2)求相关系数
,关键是计算与
的协方差；(3)考查相关系数为零与相互独立是否等价.
(1) 由
,
,知
.
由数学期望和方差的性质：
,
,
其中
为常数.
得 
(2) 因为
所以 
.
(3) 由于
服从二维正态分布,则其线性组合构成的随机变量也服从二维正态分布,而
,
,故和都是其线性组合,则
服从二维正态分布,根据
,所以与是相互独立的.
