1993考研数一真题及答案详解

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1) 函数的单调减少区间为______________.

(2) 由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为______________.

(3) 设函数的傅里叶级数展开式为

,则其中系数的值为______________.

(4) 设数量场则______________.

(5) 设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为,则线性方程组的通解为______________.

 

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设,则当时,是的       (   )

    (A) 等价无穷小                         (B) 同阶但非等价无穷小

    (C) 高阶无穷小                         (D) 低阶无穷小

(2) 双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为             (   )

    (A)                       (B)  

(C)                      (D)  

(3) 设有直线与,则与的夹角为     (   )

    (A)                                  (B)   

(C)                                  (D)   

(4) 设曲线积分与路径无关,其中具有一阶连续导数,且,则等于                                          (   )

(A)                            (B)  

(C)                          (D)   

(5) 已知,为三阶非零矩阵,且满足,则

    (A) 时,的秩必为1                (B) 时,的秩必为2 

(C) 时,的秩必为1                (D) 时,的秩必为2

 

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)

(1) 求 .

(2) 求 .

(3) 求微分方程,满足初始条件的特解.

 

四、(本题满分6分)

计算,其中是由曲面与

所围立体的表面外侧.

 

五、(本题满分7分)

求级数的和.

 

六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)

(1) 设在上函数有连续导数,且证明在 内有且仅有一个零点.

(2) 设,证明.

 

七、(本题满分8分)

已知二次型,通过正交变换化成标准形,求参数及所用的正交变换矩阵.

 

八、(本题满分6分)

设是矩阵,是矩阵,其中,是阶单位矩阵,若,证明的列向量组线性无关.

 

九、(本题满分6分)

设物体从点出发,以速度大小为常数沿轴正向运动.物体从点与同时出发,其速度大小为,方向始终指向,试建立物体的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.

 

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)

(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_______.

(2) 设随机变量服从上的均匀分布,则随机变量在内的概率分布密度_______.

 

十一、(本题满分6分)

设随机变量的概率分布密度为,.

(1) 求的数学期望和方差.

(2) 求与的协方差,并问与是否不相关？

(3) 问与是否相互独立？为什么？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】

【解析】由连续可导函数的导数与的关系判别函数的单调性.

将函数两边对求导,得  .

若函数严格单调减少,则,即.

所以函数单调减少区间为.

【相关知识点】函数的单调性：设函数在上连续,在内可导.

(1)  如果在内,那么函数在上单调增加；

(2)  如果在内,那么函数在上单调减少.

(2)【答案】

【解析】先写出旋转面的方程：.

令                .

则在点的法向量为

,

所以在点处的法向量为

                     .

因指向外侧,故应取正号,单位法向量为

.

(3)【答案】

【解析】按傅式系数的积分表达式     ,

所以       .

因为为奇函数,所以；

为偶函数,所以   

.

(4)【答案】

【解析】先计算的梯度,再计算该梯度的散度.

因为    ,

所以    .

数量场分别对求偏导数,得

,

由对称性知

               ,       ,

将分别对求偏导,得

,

,     ,

因此,  .

(5)【答案】

【解析】因为,由知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故的通解形式为.下面根据已知条件“的各行元素之和均为零”来分析推导的一个非零解,它就是的基础解系.

各行元素的和均为0,即

,

而齐次方程组为

.

两者比较,可知是的解.所以应填.

 

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)【答案】(B)

【解析】为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,

运用洛必达法则,有

            .

因为当,所以,所以

,

所以与是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).

【相关知识点】无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限  ,

(1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小；

(2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；

(3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.

若不存在(不为),称不可比较.

(2)【答案】(A)

【解析】由方程可以看出双纽线关于轴、轴对称,(如草图)

只需计算所围图形在第一象限部分的面积；

双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程

较为简单：.

显然,在第一象限部分的变化范围是

.再由对称性得

,

应选(A).

(3)【答案】(C)

【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,与的方向向量分别是

,

与的夹角的余弦为

,

所以,应选(C).

(4)【答案】(B)

【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关

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