时间:2016-03-06 11:51:28
,
即 
,
化简得 
, 即 
,
解之得 
, 所以 
.
由
得
,因此 
,故应选(B).
【相关知识点】曲线积分
在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是
.
(5)【答案】(C)
【解析】若
是
矩阵,
是
矩阵,
,则
.
当
时,矩阵的三行元素对应成比例,
,有
,知
,
所以,
可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；
当
时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,
,于是从得
,又因
,有 
,从而
必成立,所以应当选(C).
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1)【解析】令
,则当
时,
,
,
这是
型未定式,
,
而
是两个重要极限之一,即
.
所以 
.
而 
,
故 
.
(2)【解析】方法一：
.
令
,则 
,
所以 
,
所以 
.
方法二：令,则 
,
所以 
.
关于
的求解同方法一,所以
.
(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以
得
,即
.
令
,则方程化为
,即
,
即 
,
积分得 
.
由得
,
即 
,
代入初始条件
,得 
,所以所求方程的特解是
.
解法二：所给方程可写成 
的形式,此方程为齐次方程.
令
,则
,所以方程可化为
,分离变量得 
,
积分得 
, 即
.
以代入上式,得
.代入初始条件,得
,
故特解为.
四、(本题满分6分)
【解析】将
表成
,则
.
又
是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.
记围成区域
,见草图,取外侧,由高斯公式得
.
用球坐标变换求这个三重积分.
在球坐标变换下,为：
,于是
.
五、(本题满分7分)
【解析】先将级数分解,
.
第二个级数是几何级数,它的和已知
.
求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察
.
,
所以 
.
因此原级数的和 
.
六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)
(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在
存在一点
,使得
,
即 
.
因为
,所以当
时,
,故
.
由
,所以在上由介值定理可知,必有一点
使得
.
又因为,故
为严格单调增函数,故
值唯一.
证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于
,
以下同方法1.
(2)【解析】先将不等式做恒等变形:
因为
,故原不等式等价于
或
.
证法一：令
,则 
.
因为
,所以
,故
.
从而
在时为严格的单调递增函数,故 
.
由此 
,即 
.
证法二：令
,则 
.
当
时,
,所以为严格的单调递减函数,故存在使得
成立.即.
七、(本题满分8分)
【解析】写出二次型
的矩阵为
,它的特征方程是
.
经正交变换化成标准形
,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是的特征值.
把
代入特性方程,得
.
因
知
.这时 
.
对于
,由
, 
,得 
.
对于
,由
,
,得
.
对于
,由
,
,得
.
将
单位化,得
.
故所用的正交变换矩阵为
.
【相关知识点】二次型的定义：含有
个变量
的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)
其中
,
称为元二次型.令
,
,则二次型可用矩阵乘法表示为
其中是对称矩阵
,称为二次型
的矩阵.
八、(本题满分6分)
【解析】证法一：对按列分块,记
,若
,
即 
, 亦即 
.
两边左乘,得 
,即 
,亦即 
.
所以
线性无关.
证法二：因为是矩阵,
,所以
.
又因
,故
.所以线性无关.
【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数
,使
,则称
线性相关；否则,称线性无关．
2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩
九、(本题满分6分)
【解析】如图,设当运动到
时,运动到
.
由的方向始终指向,有
,即
(1)
又由
,
,得
.
由题意,
单调增,
,所以 
.亦即
. (2)
由(1),(2)消去
,
,便得微分方程 
.
初始条件显然是
.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)
(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.
方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.
设事件
“第
次抽出次品”
由已知得
.应用全概率公式
.
方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.
由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是
.
(2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.
由已知条件,
在区间
上服从均匀分布,得的概率密度函数为
.
先求
的分布函数
.
当
时,
；当
时,
；当
时,
.
即 
于是,对分布函数求导得密度函数
.
故随机变量
在
内的概率分布密度
.
方法二：也可以应用单调函数公式法.
由于
在(0,4)内单调,反函数
在(0,2)内可导,且导数
恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量的概率密度为
故随机变量在内的概率分布密度.
十一、(本题满分6分)
【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.
.
(因为被积函数
是奇函数,积分区域关于
轴对称,所以积分值为0.)
(2) 根据协方差的计算公式
来计算协方差.
因为,所以
(因为被积函数
是奇函数,积分区域关于轴对称,所以积分值为0.)
所以与
不相关.
(3) 方法一：
对于任意正实数
,事件
含于事件
,且
,
所以 
,
,
可见 
,
因此与不独立.
方法二：因为
；
又
，显然有
，因此与不独立.