时间:2016-03-06 11:49:07
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 设函数
由方程
确定,则
____________.
(2) 函数
在点
处的梯度
____________.
(3) 设
则其以
为周期的傅里叶级数在点
处收敛于____________.
(4) 微分方程
的通解为
____________.
(5) 设
,其中
则矩阵
的秩
____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 当
时,函数
的极限 ( )
(A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为
(D) 不存在但不为
(2) 级数
(常数
) ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与
有关
(3) 在曲线
的所有切线中,与平面
平行的切线 ( )
(A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在
(4) 设
,则使
存在的最高阶数
为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(5) 要使
都是线性方程组
的解,只要系数矩阵为 ( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1) 求 
.
(2) 设
,其中
具有二阶连续偏导数,求
.
(3) 设
求
.
四、(本题满分6分.)
求微分方程
的通解.
五、(本题满分8分)
计算曲面积分
,其中
为上半球面
的上侧.
六、(本题满分7分)
设
,
,证明对任何
,有
.
七、(本题满分8分)
在变力
的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面
上第一卦限的点
,问当
取何值时,力
所做的功
最大?并求出的最大值.
八、(本题满分7分)
设向量组
线性相关,向量组
线性无关,问：
(1) 
能否由
线性表出？证明你的结论.
(2) 
能否由线性表出？证明你的结论.
九、(本题满分7分)
设3阶矩阵的特征值为
,对应的特征向量依次为
,又向量
,
(1) 将
用
线性表出.
(2) 求
(为自然数).
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 已知
,
,
,则事件、
、
全不发生的概率为___________.
(2) 设随机变量
服从参数为1的指数分布,则数学期望
___________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量与
独立,服从正态分布
,服从
上的均匀分布,试求
的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数
表示,其中
).
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】
【解析】函数是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式.
方程两边对
求导,将
看做的函数,得
.解出
,即
.
【相关知识点】1.复合函数求导法则：
如果
在点可导,而
在点可导,则复合函数
在点可导,且其导数为
或 
.
2.两函数乘积的求导公式：
.
(2)【答案】
【解析】对函数
求各个分量的偏导数,有
；
；
.
由函数的梯度(向量)的定义,有
,
所以 
.
【相关知识点】复合函数求导法则：
如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为
或 .
(3)【答案】
【解析】是区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在处收敛于
.
【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：
函数
在区间
上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则在上的傅里叶级数收敛,而且
(4)【答案】
为任意常数
【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于
,方程两边同乘
,得
.
故通解为为任意常数.
(5)【答案】1
【解析】因为矩阵中任何两行都成比例(第
行与第
行的比为
),所以中的二阶子式全为0,又因
,知道
,中有一阶子式非零.故
.
【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在
阶子式不为零,而所有的
阶子式全为零时,则此矩阵的秩为.
二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)
(1)【答案】(D)
【解析】对于函数在给定点
的极限是否存在需要判定左极限
和右极限
是否存在且相等,若相等,则函数在点的极限是存在的.
, 
,
,故当时函数没有极限,也不是.故应选(D).
(2)【答案】(C)
【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小
,
,
又因为
级数：
当
时收敛；当
时发散.
所以有 
收敛.
收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).
注：对于正项级数
,确定无穷小
关于
的阶(即与级数作比较)是判断它的敛散性的一个常用方法.该题用的就是这个方法.
(3)【答案】B
【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的
值.
求曲线上的点,使该点处的切向量
与平面的法向量
垂直,即可以让切线与平面平行.
曲线在任意点处的切向量
,
,即
,解得 
.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)
因此,只有两条这种切线,应选(B).
(4)【答案】(C)
【解析】因
处处任意阶可导,只需考查
,它是分段函数,
是连接点.
所以,写成分段函数的形式,有
对分段函数在对应区间上求微分,
再考查
在连接点处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.
,
,
即 
同理可得 
,即 
.
对于
有
所以在不可导,
不存在,应选(C).
(5)【答案】(A)
【解析】
,
向量对应的分量不成比例,所以,是两个线性无关的解,故
.由
知
.
再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A).
【相关知识点】对齐次线性方程组,有定理如下:
对矩阵按列分块,有
,则的向量形式为
那么, 有非零解 
线性相关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1)【解析】由等价无穷小有
时,
,
原式=
,
上式为“
”型的极限未定式,又分子分母在点
处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有
原式
.
(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的.
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求
,再求
.
由复合函数求导法则得
,
.
【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数
都在点
具有对及对的偏导数,函数
在对应点
具有连续偏导数,则复合函数
在点的两个偏导数存在,且有
；
.
(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.
令
,则
当
时,
；当
时,
,于是
四、(本题满分6分.)
【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程
有两个根为
,而非齐次项
为单特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解
,代入方程可得
,故所求通解为
,其中
为常数.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方