时间:2016-03-06 11:49:07
是二阶线性非齐次方程
的一个特解.
是与之对应的齐次方程
的通解,则
是非齐次方程的通解.
2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解：即中的
、
均是常数,方程变为
.其特征方程写为
,在复数域内解出两个特征根
；
分三种情况：
(1) 两个不相等的实数根,则通解为
(2) 两个相等的实数根
,则通解为
(3) 一对共轭复根
,则通解为
其中
为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下：
如果
则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中
是与
相同次数的多项式,而
按
不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果
,则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
,
其中
与
是
次多项式,
,而按
(或
)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为
或
.
五、(本题满分8分)
【解析】将原式表成
,则
.
以考虑用高斯公式来求解,但曲面
不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.
添加辅助面
,法向量朝下,
与围成区域
,与取的外法向量.在上用高斯公式得
.
用球坐标变换求右端的三重积分得
.
注意垂直于平面
与平面
,将积分投影到
平面上,所以左端上的曲面积分为 
(极坐标变换)
.
因此 
.
【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数
、
、
在上具有一阶连续偏导数,则有
或 
这里是的整个边界曲面的外侧,
、
、
是在点
处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：
其中
为向量与
轴正向的夹角,
；
为从正轴来看自
轴按逆时针方向转到向量在平面上投影线段的角,
；
为向量的模长,
.
球面坐标系中的体积元素为
则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：
六、(本题满分7分)
【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.
不妨设
,要证的不等式是
.
在
上用中值定理,有
；
在
上用中值定理,又有
由
所以
单调减,而
,有
,所以
,
即
.
证法二：用函数不等式来证明.要证
,构造辅助函数
,
则
.由
单调减,
.
由此,
.改为
即得证.
【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数
满足在闭区间
上连续,在开区间
内可导,那么在内至少有一点
,使等式
成立.
七、(本题满分8分)
【解析】(1)先求出在变力
的作用下质点由原点沿直线运动到点
时所作的功
的表达式.点
到点
的线段记为
,则
.
(2)计算曲线积分：的参数方程是 
从到,
.
化为最值问题并求解：问题变成求
在条件
下的最大值与最大值点.
用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为
,则有
解此方程组：对前三个方程,分别乘以
得 
(
时)
代入第四个方程得 
.
相应的 
.当
时相应的得 
.
因为实际问题存在最大值,所以当
时取最大值
.
【相关知识点】拉格朗日乘子法：
要找函数
在附加条件
下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数
其中为参数.求其对与
的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：
由这方程组解出
及,这样得到的
就是函数
在附加条件下的可能极值点.
八、(本题满分7分)
【解析】(1) 
能由
线性表出.
因为已知向量组
线性无关,所以线性无关,又因为
线性相关,故能由线性表出.
(2) 
不能由线性表出,
反证法：若能由线性表出,设 
.
由(1)知, 能由线性表出,可设
,那么代入上式整理得
.
即能由线性表出,从而线性相关,这与已知矛盾.
因此,不能由线性表出.
【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数
,使
,则称
线性相关；否则,称线性无关．
九、(本题满分7分)
【解析】(1)设
,即是求此方程组的解.
对增广矩阵
作初等行变换,
第一行乘以
分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以
加到第三行上,第三行自乘
,有
,
第三行乘以
、分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以加到第一行上,有 增广矩阵
.
解出
,
,
,故
.
(2) 由为
的特征值可知,存在非零向量
使
,两端左乘,得
,再一直这样操作下去,有
.
因为
,故.按特征值定义知
是
的特征值,且为相应的特征向量.
所以有
,据(1)结论,有
,
于是 
.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是
阶矩阵,若存在数及非零的维列向量
使得
成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
【解析】由条件概率和乘法公式：从
,可知
,
由加法公式：
,
故 
.
(2)【解析】依题意,随机变量服从参数为
的指数分布,故的概率密度为
根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出
.
十一、(本题满分6分)
【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：
首先,因
,所以的密度函数为
,
因
服从
上的均匀分布,故的密度函数为
.
因为随机变量与相互独立,所以二维随机变量
的联合概率密度为
.要求
的密度函数,先求的分布函数
.
(由标准正态分布来表示一般正态分布)
求出的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,的密度函数为
其中
是标准正态分布的概率分布密度.由于是偶函数,故有
于是 
.
最终用标准正态分布函数
表示出来
的概率分布密度.
方法二：用卷积公式直接计算：
直接应用相互独立随机变量之和密度的卷积公式,求
更为简单.
因为随机变量与相互独立,由卷积公式
.
最终用标准正态分布函数表示出来的概率分布密度.