时间:2016-03-06 11:29:20
令
,则
时
,所以
,
所以 
.
因为当
时,
,所以
,
故 
.
(2)【解析】先求方向
的方向余弦,再求
,最后按方向导数的计算公式
求出方向导数.
曲面
在点
处的法向量为
,
在点处指向外侧,取正号,并单位化得
又 
,
所以方向导数
.
(3)【解析】由曲线
绕
轴旋转一周而围成的旋转面方程是
.
于是,
是由旋转抛物面
与平面
所围成.曲面与平面的交线是
.
选用柱坐标变换,令
,于是
,
因此 
.
四、(本题满分6分)
【解析】曲线
,则
,所以
.
对关于
的函数
两边对求导数,其中
,并令
得
.
所以
, 且 
.
故为函数
的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为
.
五、(本题满分8分.)
【解析】按傅式级数公式,先求
的傅式系数
与
.因为偶函数,所以
,
,
.
因为
在区间
上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
.
令
,有
,所以,
.
又 
,
所以, 
,即 
.
六、(本题满分7分.)
【解析】由定积分中值定理可知,对于
,在区间
上存在一点
使得
,
即
.
由罗尔定理可知,在区间
内存在一点
,使得
.
七、(本题满分8分)
【解析】设
,按分量写出,则有
.
对方程组的增广矩阵作初等行变换:
第一行分别乘以有
、
加到第三行和第四行上,再第二行乘以
、加到第三行和第四行上,有
,
所以,当
时,
,方程组无解.即是不存在
使得
成立,
不能表示成
的线性组合；
当
时,
方程组有唯一解
,
故
有唯一表达式,且
.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设
是
矩阵,线性方程组
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵
的秩,即是
(或者说,
可由的列向量
线表出,亦等同于与
是等价向量组).
设是矩阵,线性方程组,则
(1) 有唯一解 
(2) 有无穷多解 
(3) 无解 
不能由的列向量线表出.
八、(本题满分6分)
【解析】方法1：因为为
阶正定阵,故存在正交矩阵
,使
,
其中
,
是的特征值.
因此 
两端取行列式得 
,
从而 
.
方法2：设的个特征值是
由于为阶正定阵,故特征值全大于0.
由
为的特征值可知,存在非零向量
使
,两端同时加上,
得
.按特征值定义知
是
的特征值.因为的特征值是
它们全大于1,根据
,知
.
【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量
使得
成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.
九、(本题满分8分)
【解析】曲线
在点
处的法线方程为
(当
时),
它与
轴的交点是
,从而
.
当
时,有
,上式仍然成立.
因此,根据题意得微分方程
,
即
.这是可降阶的高阶微分方程,且当
时,
.
令
,则
,二阶方程降为一阶方程
,即
.
即
,
为常数.
因为当时,
,所以
,即
,
所以
.分离变量得 
.
令
,并积分,则上式左端变为
.
因曲线在上半平面,所以
,即
.
故 
.
当时,
当前取+时,
,
,
；
当前取
时,
,
,
；
所以 
.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数
和
,否则应先根据题设条件求出,,再计算有关事件的概率,本题可从
,通过查
表求出
,但是注意到所求概率
即是
与
之间的关系,可以直接由的值计算出.
因为
,所以可标准化得 
,
由标准正态分布函数概率的计算公式,有
,
.
由正态分布函数的对称性可得到 
.
(2)【解析】设事件=“掷的点和原点的连线与轴的夹角小于
”,
这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式
,而 
,
,
故 
.
十一、(本题满分6分)
【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有
.
当
时,
.
因为
在直线
的下方
与
(即第一象限)没有公共区域,
所以.
当
时,在直线
的上方与第一象限相交成一个三角形区域
,此即为积分区间.
.
所以
的分布函数 