时间:2016-03-05 17:17:24
分别是
绕
轴，
轴旋转一周所得旋转体的体积，若
，求
的值。
【解析】由题意可得：
因为： 所以
（17）（本题满分10分）
设平面内区域由直线
及
围成.计算
。
【解析】
（18）（本题满分10分）
设奇函数
在
上具有二阶导数，且
.证明：
（I）存在
，使得
；（II）存在
，使得
。
【解析】（1）令
则
使得
（2）令
则
又由于为奇函数，故
为偶函数，可知
,
则
使
即
，即
（19）（本题满分11分）
求曲线
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
【解析】本题本质上是在条件下求函数
的最值。
故只需求出
在条件
下的条件极值点，再将其与曲线端点处（
）的函数值比较，即可得出最大值与最小值。
由于函数与
的增减性一致，故可以转化为求的条件极值点：
构造拉格朗日函数
，求其驻点得
为了求解该方程组，将前两个方程变形为
进一步有
，故
即
。则有
或
或
。
当时，有
，不可能满足方程
；
当，由于
，也只能有，不可能满足第三个方程；
故必有，将其代入得
，解得
。
可知
点是唯一的条件极值点。
由于
，
，故曲线上的点到坐标原点的最长距离为
与最短距离为
。
（20）（本题满分11分）
设函数
，
（I）求的最小值
（II）设数列
满足
，证明
存在，并求此极限.
【解析】（I）
，则当
时，
；当
时，
。
可知在
上单调递减，在
上单调递增。故的最小值为。
（2）、由于
，则
，即
，故
单调递增。
又由于
，则
，故有上界，则由单调有界收敛定理可知，
存在。令
，则
，由于
，则
，故
。
（21）（本题满分11分）
设曲线
的方程为
，
（1）求的弧长；
（2）设是由曲线，直线
及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。
【解析】（1）由弧长的计算公式得的弧长为
（2）由形心的计算公式可得，的形心的横坐标为
（22）（本题满分11分）
设
，当
为何值时，存在矩阵
使得
，并求所有矩阵。
【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设
，则由可得线性方程组：
（1）
由于方程组（1）有解，故有
，即
从而有
，故有
从而有
（23）（本题满分11分）
设二次型
，记
。
（I）证明二次型
对应的矩阵为
；
（II）若
正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型
。
【解析】(1)
（2）
，则1,2均为A的特征值，又由于
，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为