时间:2016-03-05 17:17:24
2013年考研数学（二）真题附答案详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设
，其中
，则当
时，
是（ ）
（A）比
高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小
（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与等价的无穷小
（2）设函数
由方程
确定，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设函数
，
，则（ ）
（A）
是函数
的跳跃间断点 （B） 是函数的可去间断点
（C）在处连续但不可导 （D）在处可导
（4）设函数
，若反常积分
收敛，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设
，其中函数
可微，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设
是圆域
在第
象限的部分，记
，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（8）矩阵
与
相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 
．
(10) 设函数
，则的反函数
在
处的导数
．
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为
，则L所围成的平面图形的面积为 ．
(12)曲线
上对应于
的点处的法线方程为 ．
(13)已知
，
，
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件
的解为
．
（14）设
是三阶非零矩阵，
为A的行列式，
为
的代数余子式，若
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当时，
与
为等价无穷小，求
与
的值。
（16）（本题满分10分）
设
是由曲线
，直线
及轴所围成的平面图形，
分别是绕轴，
轴旋转一周所得旋转体的体积，若
，求的值。
（17）（本题满分10分）
设平面内区域由直线
及
围成.计算
。
（18）（本题满分10分）
设奇函数
在
上具有二阶导数，且
.证明：
（I）存在
，使得
；（II）存在
，使得
。
（19）（本题满分11分）
求曲线
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
（20）（本题满分11分）
设函数
，
（I）求的最小值
（II）设数列
满足
，证明
存在，并求此极限.
（21）（本题满分11分）
设曲线
的方程为
，
（1）求的弧长；
（2）设是由曲线，直线
及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。
（22）（本题满分11分）
设
，当
为何值时，存在矩阵
使得
，并求所有矩阵。
（23）（本题满分11分）
设二次型
，记
。
（I）证明二次型对应的矩阵为
；
（II）若
正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型
。
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设，其中，则当时，是（ ）
（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小
（C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与等价的无穷小
【答案】（C）
【解析】因为
，所以
，
因此当时，
，所以
，所以
，
所以是与同阶但不等价的无穷小。
（2）设函数由方程确定，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（A）
【解析】由于
，所以
，
对此隐函数两边求导得
，所以
，故
。
（3）设函数，，则（ ）
（A） 是函数的跳跃间断点 （B） 是函数的可去间断点
（C）在处连续但不可导 （D）在处可导
【答案】（C）
【解析】
，
由于
，所以在处连续；
，
，
所以在处不可导。
（4）设函数，若反常积分收敛，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（D）
【解析】
因为
，
当
时，
，
要使
存在，需满足
；
当
时，
，
要使
存在，需满足
；所以。
（5）设，其中函数可微，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（A）
【解析】已知，所以
，
所以
。
（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
【解析】令
，则有
故当
时，
，此时有
故正确答案选B。
（7）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
，且可逆，则（ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】（B）
【解析】由
可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有
，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
（8）矩阵与相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】(B)
【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为
。
又
，从而。
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) ．
【答案】
【解析】原式=
，
因此答案为.
(10) 设函数，则的反函数在处的导数 ．
【答案】
【解析】
(11)设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围成的平面图形的面积为 ．
【答案】
【解析】所围图形的面积是
(12)曲线上对应于的点处的法线方程为 ．
【答案】
【解析】
，
当时，
，故法线方程为.
(13)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件的解为 ．
【答案】
【解析】由题意知：
是对应齐次方程的解，
是非齐次方程的解，
故非齐次的通解为
，将初始条件代入，得到
,
故满足条件的解为。
（14）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
【答案】
【解析】
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当时，与为等价无穷小，求与的值。
【解析】因为当时，与为等价无穷小
所以
又因为：
即
所以
且
（16）（本题满分10分）
设是由曲线，直线及轴所围成的平面