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2009年考研数学二真题附答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）函数
的可去间断点的个数，则（ ）
1. 
2. 
3. 
无穷多个.
（2）当
时，
与
是等价无穷小，则（ ）
. 
. 
. 
.
（3）设函数
的全微分为
，则点
（ ）
不是
的连续点. 不是的极值点.
是的极大值点. 是的极小值点.
（4）设函数连续，则
（ ）
. 
.
. .
（5）若
不变号，且曲线
在点
上的曲率圆为
，则
在区间
内（ ）
有极值点，无零点. 无极值点，有零点.
有极值点，有零点. 无极值点，无零点.
（6）设函数在区间
上的图形为：
则函数
的图形为（ ）
. 
.
.
.
（7）设
、
均为2阶矩阵，
分别为、的伴随矩阵。若
，则分块矩阵
的伴随矩阵为（ ）
.
.
.
.
（8）设
均为3阶矩阵，
为
的转置矩阵，且
，若
，则
为（ ）
.
.
.
.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）曲线
在
处的切线方程为
（10）已知
,则
（11）
（12）设
是由方程
确定的隐函数，则
（13）函数
在区间
上的最小值为
(14)设
为3维列向量，
为
的转置，若矩阵
相似于
，则
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求极限
（16）（本题满分10 分）计算不定积分
（17）（本题满分10分）设
，其中
具有2阶连续偏导数，求
与
（18）（本题满分10分）
设非负函数
满足微分方程
，当曲线过原点时，其与直线
及
围成平面区域
的面积为2，求绕
轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）求二重积分
，
其中
（20）（本题满分12分）
设
是区间
内过
的光滑曲线，当
时，曲线上任一点处的法线都过原点，当
时，函数
满足
。求的表达式
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在
上连续，在
可导，则存在
，使得
（Ⅱ）证明：若函数在
处连续，在
内可导，且
，则
存在，且
。
（22）（本题满分11分）设
，
（Ⅰ）求满足
的所有向量
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：
线性无关。
（23）（本题满分11分）设二次型
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型的规范形为
，求
的值。
2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 函数 【解析】由于 故 故可去间断点为3个,即 (2) 当 【答案】 【解析】 另外, 所以本题选 (3) 设函数 【解析】因 又在 故 (4) 设函数 【解析】 将其写成一块 故二重积分可以表示为 (5) 若 【解析】由题意可知, 在 对于 （6）设函数 则函数 【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 ① ② ③ ④ ⑤由于F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为 （7）设
的可去间断点的个数为
1 
2 
3 
无穷多个 【答案】
,则当
取任何整数时,
均无意义.的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是
的解
.
.
时,
与
是等价无穷小,则
,故排除
.
存在,蕴含了
,故
排除
..
的全微分为
,则点
不是
的连续点 不是的极值点 是的极大值点 是的极小值点 【答案】可得
.
,处,
,
,为函数
的一个极小值点.连续,则
【答案】
的积分区域为两部分：
,
,
,
,故答案为.
不变号,且曲线
在点
上的曲率圆为
,则函数在区间
内 有极值点,无零点 无极值点,有零点 有极值点,有零点 无极值点,无零点 【答案】
是一个凸函数,即
,且在点
处的曲率
,而
,由此可得,
.
上,
,即单调减少,没有极值点.
,(拉格朗日中值定理)
而
,由零点定理知,在上,有零点.故应选.在区间
上的图形为：
的图形为
的图形可见，其图像与轴及
轴、
所围的图形的代数面积为所求函数
，从而可得出几个方面的特征：
时，
，且单调递减。
时，单调递增。
时，为常函数。
时，为线性函数，单调递增。。
均为2阶矩阵，
分别为的伴随矩阵，若
，则分块矩阵
的伴随矩阵为
. 
.