时间:2016-03-05 16:57:18
. 
. 【答案】 B
【解析】根据
若
分块矩阵
的行列式
即分块矩阵可逆
（8）设
均为3阶矩阵，
为
的转置矩阵，且
，若
，则
为
.
. 
.
.
【答案】 A
【解析】
，即：
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）曲线
在
处的切线方程为
【答案】
【解析】
所以 
所以 切线方程为
（10）已知
,则
【答案】
【解析】
因为极限存在所以
（11）
【答案】0
【解析】令
所以
即
（12）设
是由方程
确定的隐函数，则
【答案】
【解析】对方程
两边关于
求导有
，得
对再次求导可得
，
得
当
时，
，
，代入得
（13）函数
在区间
上的最小值为 【答案】
【解析】因为
，令
得驻点为
。
又
，得
，
故为
的极小值点，此时
，
又当
时，
；
时，
，故
在
上递减，在
上递增。
而
，
，
所以在区间上的最小值为
。
(14)设
为3维列向量，
为
的转置，若矩阵
相似于
，则
【答案】
【解析】因为
相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值是
，而
是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则
。
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求极限
【解析】
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分
【解析】方法一：令
得
方法二： 
即
（17）（本题满分10分）设
，其中
具有2阶连续偏导数，求
与
【解析】
（18）（本题满分10分）设非负函数
满足微分方程
，当曲线过原点时，其与直线
及围成平面区域
的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。
【解析】微分方程
得其通解
为任意常数
令
，则
，微分方程变形为
得到
其中
为任意常数
即
得到
其中
为任意常数
又因为
通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得
从而
于是，所求非负函数
又由
可得，在第一象限曲线
表示为
于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为
，其中
（19）（本题满分10分）
求二重积分
，其中
。
【解析】由
得
，
（20）（本题满分12分）
设是区间
内过
的光滑曲线，当
时，曲线上任一点处的法线都过原点，当
时，函数
满足
。求的表达式
【解析】由题意，当
时，
，即
，得
，
又
代入得
，从而有
当时，
得 
的通解为
令解为
，则有
，得
，
故
，得的通解为
由于是
内的光滑曲线，故在处连续
于是由
，故
时，在处连续
又当 时，有
，得
，
当时，有
，得
由
得
，即 
故 的表达式为
或
，又过点
，
所以。
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数
在
上连续，在
可导，则存在
，使得
（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在
内可导，且
，则
存在，且
。
【解析】（Ⅰ）作辅助函数
，易验证
满足：
；在闭区间上连续，在开区间
内可导，且
。
根据罗尔定理，可得在内至少有一点
，使
，即
（Ⅱ）任取
，则函数
满足；
在闭区间
上连续，开区间
内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在
，使得
……
又由于
，对上式（*式）两边取
时的极限可得：
故
存在，且
。
（22）（本题满分11分）设
，
（Ⅰ）求满足
的所有向量
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：
线性无关。
【解析】（Ⅰ）解方程
故有一个自由变量，令
，由
解得，
求特解，令
，得
故
，其中
为任意常数
解方程
故有两个自由变量，令
，由
得
令
，由得
求特解
故 
，其中
为任意常数
（Ⅱ）证明：由于
故 线性无关.
（23）（本题满分11分）设二次型
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型的规范形为
，求
的值。
【解析】（Ⅰ） 
（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则
1) 若
，则 
，
，不符题意
2) 若
，即
，则
，
，符合
3) 若
，即
，则
，
，不符题意
综上所述，故