2008年考研数学二试题附答案详解

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）设，则的零点个数为（  ）

0          1.       2     3

（2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（   ）

曲边梯形ABOD面积.       

梯形ABOD面积.

曲边三角形面积.    

三角形面积.

（3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（  ）

                      

                           

（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（   ）

若收敛，则收敛.               若单调，则收敛.

若收敛，则收敛.                         若单调，则收敛.

（6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则

           

        

 

（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（   ）

不可逆，不可逆.            不可逆，可逆.

可逆，可逆.                    可逆，不可逆.

（8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（   ）

.                      .

.                            . 

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9） 已知函数连续，且，则.

（10）微分方程的通解是.

（11）曲线在点处的切线方程为.

（12）曲线的拐点坐标为______.

（13）设，则.

（14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则.

三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)（本题满分9分）求极限.

 

 

 

 

 

 

(16)（本题满分10分）

设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.

 

 

 

 

 

 

 

(17)（本题满分9分）求积分 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)（本题满分11分）

求二重积分其中

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(19)（本题满分11分）

设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.

 

 

 

 

 

 

 

(20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得 (2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（21）（本题满分11分）

求函数在约束条件和下的最大值与最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

（22）（本题满分12分）

设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，

（1）求证；

（2）为何值，方程组有唯一解，并求；

（3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（23）（本题满分10分）

设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足，

（1）证明线性无关；

（2）令，求.

 

2008年考研数学二试题分析、详解和评注

 

一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设，则的零点个数为【    】．

(A) 0.         (B) 1.        (C) 2.        (D) 3．

【答案】应选(D).

【详解】．

令，可得有三个零点．故应选(D).

(2)曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示【    】．

(A) 曲边梯形的面积．        (B) 梯形的面积．

(C) 曲边三角形面积．          (D) 三角形面积．

【答案】 应选(C).

【详解】，

其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积．故应选(C).

(3)在下列微分方程中，以（为任意的常数）为通解的是【    】．

(A)  .      (B) .   

(C)  .     (D) .　           

【答案】 应选(D).

【详解】由，可知其特征根为

，，故对应的特征值方程为

所以所求微分方程为．应选(D).

(4) 判定函数，间断点的情况【    】．

(A)    有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点．

(C) 有两个无穷间断点.                  (D)有两个跳跃间断点.

【答案】 应选(A).

 (5)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【    】．

(A) 若收敛，则收敛        (B) 若单调，则收敛  

    (C) 若收敛，则收敛.       (D) 若单调，则收敛.

【答案】 应选(B).

【详解】若若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛．故应选(B).

(6)设函数连续，，，若，则【    】．

(A)        (B)     (C)       (D)

【答案】 应选(A).

【详解】利用极坐标，得

，所以．故应选(A).

(7)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵．若，则下列结论正确的是【    】．

(A) 不可逆，则不可逆.        (B) 不可逆，则可逆.

(C) 可逆，则可逆.            (D) 可逆，则不可逆.   

【答案】应选(C).

【详解】，．

故，均可逆．故应选(C).

(8) 设，则在实数域上，与A合同矩阵为【    】．

(A)  .    (B) .      (C) .      (D) .　             

【答案】 应选(D).

【详解】

则，记，则

则，正负惯性指数相同.故选D.

二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)

(9)已知函数连续，且，则

【答案】 应填．

 

(10)微分方程

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