时间:2016-03-05 16:54:23
的通解是 .
【答案】 应填
．
(11)曲线
在点
的切线方程为 .
【答案】 应填
．
【详解】
(12)曲线
的拐点坐标为 .
【答案】 
．
【详解】
(13)设
，则
.
【答案】 
．
(14)设3阶矩阵
的特征值为
．若行列式
，则
___________.
【答案】应填
．
三、解答题(15－23小题，共94分)．
(15)(本题满分9分)
求极限
．
【详解1】
＝
(或
，或
)
．
【详解2】
＝
（或
）
．
(16)(本题满分10分)
设函数
由参数方程
确定，其中
是初值问题
的解，求
．
【详解1】由
得
，积分得
．
由条件
，得
，即
，
故 
．
方程组
两端同时对
求导得
．
所以
，
从而
．
17（本题满分9分）计算
．
【详解1】 由于
，故是反常积分．
令
，有
，
．
．
【详解2】 
令，有，．
，
所以
．
(18)(本题满分11分)
计算
，其中
．
【详解】将区域
分成如图所示得两个子区域
和
．于是
．
(19)(本题满分11分)
设
是区间
上具有连续导数的单调增加函数，且
．对任意的
，直线
，曲线
以及
轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式．
【详解】根据题意，因为
旋转体体积
，侧面积
．
所以 
．
上式两边同时对求导得
．
解得 
，
．
由
，得．
所以 
或 
．
(20)(本题满分11分)
(I) 证明积分中值定理：若函数在闭区间
上连续，则至少存在一点
，使得
；
(II) 若函数
具有二阶导数，且满足
，
，则至少存在一点
，使得
．
【证法1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值
和最小值
．即
，
于是有
．
即
根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得
因此而的证．
（II）存在
，使得
．
由
，知
．
由，利用微分中值定理，存在
，使得
．
由
，利用微分中值定理，存在
，使得
．
存在存在
，使得
．
（21）(本题满分11分)
求函数
在约束条件
和
下的最大值和最小值．
【详解1】作拉格朗日函数
．
令
解之得
故所求得最大值为72,最小值为6．
【详解2】由题意知，
在条件
下的最值．
令
解之得故所求得最大值为72,最小值为6．
(22) (本题满分12分)．
设
元线性方程组
，其中
，
，
．
（I）证明行列式
；
（II）当
为何值时，该方程组有惟一解，并求
．
（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．
【详解】（I）【证法1】数学归纳法．记
以下用数学归纳法证明
．
当
时，
，结论成立．
当
时，
，结论成立．
假设结论对小于
的情况成立．将
按第一行展开得
故 
．
【注】本题（1）也可用递推法．由
得，
．于是
（I）【证法2】消元法．记
．
（II）【详解】当
时，方程组系数行列式
，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换成
，得行列式为
所以，
．
（III）【详解】 当
时，方程组为
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为
，所以方程组有无穷多组解，其通解为
，其中
为任意常数．
(23) (本题满分10分)
设
为3阶矩阵，
为的分别属于特征值
的特征向量，向量
满足
，
(I)证明
线性无关；
(II)令
，求
．
【详解】(I)【证明】设有一组数
，使得 
．
用左乘上式，得
．
因为 
, 
，，
所以 
，
即
．
由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此
，从而有
．
故 线性无关．
（II）由题意，
．而由（I）知，线性无关，从而可逆．故
．