时间:2012-09-17 16:48:52
2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1) = _____________.
(2)已知 ,则 =_____________.
(3) 满足初始条件 的特解是_____________.
(4)已知实二次型 经正交变换可化为标准型 ,则 =_____________.
(5)设随机变量 ,且二次方程 无实根的概率为0.5,则 =_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数 的四条性质:
① 在点 处连续, ② 在点 处的一阶偏导数连续,
③ 在点 处可微, ④ 在点 处的一阶偏导数存在.
则有:
(A)② ③ ① (B)③ ② ①
(C)③ ④ ① (D)③ ① ④
(2)设 ,且 ,则级数 为
(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.
(3)设函数 在 上有界且可导,则
(A)当 时,必有 (B)当 存在时,必有
(C) 当 时,必有 (D) 当 存在时,必有 .
(4)设有三张不同平面,其方程为 ( )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设 和 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 和 ,分布函数分别为 和 ,则
(A) ＋ 必为密度函数 (B) 必为密度函数
(C) ＋ 必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数 在 的某邻域具有一阶连续导数,且 ,当 时,若 ,试求 的值.
四、(本题满分7分)
已知两曲线 与 在点 处的切线相同.求此切线的方程,并求极限 .
五、(本题满分7分)
计算二重积分 ,其中 .
六、(本题满分8分)
设函数 在 上具有一阶连续导数, 是上半平面( >0)内的有向分段光滑曲线,起点为( ),终点为( ).
记 ,
(1)证明曲线积分 与路径 无关.
(2)当 时,求 的值.
七、(本题满分7分)
(1)验证函数 ( )满足微分方程 .
(2)求幂级数 的和函数.
八、(本题满分7分)
设有一小山,取它的底面所在的平面为 面,其底部所占的区域为 ,小山的高度函数为 .
(1)设 为区域 上一点,问 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为 ,写出 的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在 的边界线上找出使(1)中 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵 , 均为四维列向量,其中 线性无关, .若 ,求线性方程组 的通解.
十、(本题满分8分)
设 为同阶方阵,
(1)