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时间:2014-09-20 17:57:39
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一、填空题(本题14小题，共计42分)
1．设数集M={x|m≤x≤m+ }，N={x|n－ ≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是___________.
2.矩阵 的特征值是 ______。
3.已知向量 ，则 与 的夹角 为 _____.
4.在等式“1= + ”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是 _________.
5．已知 ，则复数 _______.
6. 已知伪代码如图，则输出结果S=_
7．过点 ，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程
为 __________________________.
8.若 ，则 ____.
9．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程为 ，则双曲线的离心率为 __________.
10．已知定义在实数集R上的偶函数 在区间 上的单调增函数，若 ，则x的取值范围是 ______________ .
11．在 中，已知 ，则 为 &n来源:91考试 网bsp; ________三角形.
12．用三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形上涂一种颜色，则3个矩形颜色都不同的概率是 ______.
13.老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师，一个是职员，一个是工人，一个是干部，还知道（1）张、刘为邻居，每天骑车上班；（2）老刘比老李年纪大；（3）老张教老赵打太极拳；（4）教师每天步行上班；（5）职员的邻居不是干部；（6）干部和工人不认识；（7）干部比职员和工人年纪都大，那么他们的职业按职员、工人、干部、教师的姓氏排列为____________________.
14. 设 ，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－12)+ f(－11)+ f(－10)+…+ f(0)+…+ f(11)+ f(12)+ f(13)的值为________.
二、解答题（本题6小题，共计58分）
15.如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
(1)试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m．
16.已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 ，在 处的切线的方程；
（Ⅱ）若方程 有解，求a的取值范围．
17．如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A、C及另两个顶点为顶点构造四面体．
（1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一 个这样的四面体（不要求证明），并计算它的体积与长方体的体积的比．
18.设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“ ”，使得
(1) 证明：如果a与b属于S，那么 也属于S.
(2) 证明：结合律 成立.
19.如图，过椭圆 的左焦点 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 ，若点 在 轴上，且使得 为 的一条内角平分线，则称点 为该椭圆的“左特征点”．（1）：求椭圆 的“左特征点” 的坐标；（2）：试根据（1）中的结论猜测：椭圆 的“左特征点” 是一个怎样的点？并证明你的结论．
20.关键词：数学作文
理论背景：从2000年开始，我国已把“探索型课题学习”列入教学计划，并规定了教学时间。2001年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中，提出了“数学作文”这个概念，它类似于国外学生做的“Project”，结合我国的实际，“数学作文”是“探索型课题”研究过程和结果的展现形式。它不同于严格意义上的数学论文，它是数学“双基”的延伸。通过数学作文能够对数学基础进行整理，上升为更加理性的认识。
请你用200-300字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。（注意：数学语言的运用）
参考答案
1． 2．4，-2 3． 4．4，12 5．12-5i 6．20 7
8．（-1，3）9． 10. 11. 等腰或直角 12.
13. 张职员、刘工人、赵干部、李教师 14. 15. （1） （2）1分钟
16. （1） （2）
17. 解（1）如四面体A1-ABC或四面体C1-ABC或四面体A1-ACD或四面体C1-ACD；
（2）如四面体B1-ABC或四面体D1-ACD；（3）如四面体A-B1CD1
18. （1）当-1<a<1,-1<b<1时，有-1< <1成立，也即证 <1成立，从而用比较法即可证得
（2）b)*c= *c= = 因为此式关于a,b,c对称，所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算。
19. （1）解：设 为椭圆 的左特征点，椭圆的左焦点为
(-2,0)，可设直线 的方程为 ,并将它代入 得 .
即 .
设 , ,则 .
∵ 被 轴平分，∴ . 即
将 ， 代入得 ,由 ,即整理得 . （2）由（1）猜想：椭圆 的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点.
证明：设椭圆的左准线 与 轴相交于点 ，过点 、 分别作 的垂线，垂足分别为点 、 .
据椭圆第二定义得
∵ ∥ ∥ ,∴ .于是
∴∠ =∠ .∴∠ =∠ .∴ 为∠ 的平分线。
故点 为椭圆的“左特征点”.
20. 纲要（1）数学归纳法作为归纳法的一种，它属于完全归纳。（2）数学归纳法的定义（或者解题步骤）（3）重难点突破：奠基的重要性及注意点，在证明P（K+1）时一定要用到归纳假设P（K）（4）适用范围：可以证明与正整数相关的命题。（5*）其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、翘翘板数学归纳等等