时间:2017-06-09 13:01:11
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．
·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．
·球的体积公式
.其中
表示球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设
，则“
”是“
”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为19，则输出的值为
（A）0 （B）1（C）2（D）3
（5）已知双曲线
的左焦点为
，点
在双曲线的渐近线上，
是边长为2的等边三角形（
为原点），则双曲线的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知奇函数
在
上是增函数.若
，则
的大小关系为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设函数
，其中
.若
且的最小正周期大于
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知函数
设
，若关于
的不等式
在上恒成立，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（9）已知
，i为虚数单位，若
为实数，则a的值为 .
（10）已知，设函数
的图象在点（1，
）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .
（11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
（12）设抛物线
的焦点为F，学 科&网准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若
，则圆的方程为 .
（13）若a，
，
，则
的最小值为 .
（14）在△ABC中，
，AB=3，AC=2.若
，
（
），且
，则
的值为 .
三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
在
中，内角
所对的边分别为
.已知
，
.
（I）求
的值；
（II）求
的值.
（16）（本小题满分13分）
电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
|
|
连续剧播放时长（分钟） |
广告播放时长（分钟） |
收视人次（万） |
|
甲 |
70 |
5 |
60 |
|
乙 |
60 |
5 |
25 |
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用，学&科网
表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
.
（I）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（II）求证：
平面
；
（Ⅲ）求直线
与平面所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知
为等差数列，前n项和为
，
是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n项和
.
（19）（本小题满分14分）
设
，
.已知函数
，
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）已知函数
和
的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：在
处的导数等于0；
（ii）若关于x的不等式
在区间
上恒成立，求b的取值范围.
（20）（本小题满分14分）
已知椭圆
的左焦点为
，右顶点为
，点
的坐标为
，
的面积为
.
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点
在线段
上，
，延长线段
与椭圆交于点
，点
，
在轴上，
，且直线
与直线
间的距离为
，四边形
的面积为
.
（i）求直线
的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）答案
（1）B （2）B （3）C （4）C
（5）D （6）C （7）A （8）A
（9）−2 （10）1 （11）
（12）
（13）4 （14）
（15）（Ⅰ）解：由，及
，得
.
由，及余弦定理，得
.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得
，代入，得
.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以
.于是
，
，故
.
16.（Ⅰ）解：由已知，
满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
（Ⅱ）解：设总收视人次为
万，则目标函数为
.
考虑，将它变形为
，这是斜率为
，随变化的一族平行直线.
为直线在
轴上的截距，当取得最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即最大.
解方程组
得点M的坐标为
.
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.
（17）本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，学|科网故
或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得
，故
.
所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为
.
（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD
平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.
（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以
为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得
,在Rt△DPF中，可得
.
所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
18.（Ⅰ）解：设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.由已知
，得
，而
，所以
.又因为
，解得
.所以，
.
由
，可得
.由
，可得
，联立①②，解得
，由此可得
.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
（Ⅱ）解：设数列
的前
项和为
，由
，有
，
，
上述两式相减，得
.
得
.
所以，数列的前项和为
.
19.【解析】（I）由
，可得
，
令
，解得
，或
.由
，得
.
当变化时，
，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
所以，的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
（II）（i）因为
，由题意知
，
所以
，解得
.
所以，在
处的导数等于0.
（ii）因为
，
，由
，可得
.
又因为
，
，故
为的极大值点，由（I）知
.
另一方面，由于，故
，
由（I）知在
内单调递增，在
内单调递减，
故当时，
在
上恒成立，从而在
上恒成立.
由
，得
，
.
令
，
，所以
，
令
，解得
（舍去），或
.
因为
，
，
，故
的值域为
.
所以，
的取值范围是.
（20）（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为e.由已知，可得
.又由
，可得
，即
.又因为
，解得
.
所以，椭圆的离心率为
.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为
，则直线FP的斜率为
.
由（Ⅰ）知
，可得直线AE的方程为
，即
，与直线FP的方程联立，可解得
，即点Q的坐标为
.
由已知|FQ|=
，有
，整理得
，所以
