时间:2015-06-15 12:41:32
15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，
且
，则
.
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为
，曲线C的参数方程为
( t为参数) ，l与C相交于A
B两点，则
.
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分11分）
某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象
时，列表并填入了部分数据，如下表：
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0 |
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0 |
5 |
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0 |
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数
的解
析式；
（Ⅱ）将
图象上所有点向左平行移动
个单位长度，得到
的图
象. 若图象的一个对称中心为
，求的最小值.
18．（本小题满分12分）
设等差数列
的公差为d，前n项和为
，等比数列
的公比为q．已知
，
，
，
．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）当
时，记
，求数列
的前n项和
．
19．（本小题满分12分）
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马
中，侧棱
底面
，
且
，过棱
的中点
，作
交
于
点
，连接
（Ⅰ）证明：
．试判断四面体
是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面
与面所成二面角的大小为
，
求
的值．
20．（本小题满分12分）
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产
两种奶制品．生产1吨
产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨
产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
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W |
12 |
15 |
18 |
|
P |
0.3 |
0.5 |
0.2 |
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利
（单位：元）是一个随机变量．
（Ⅰ）求的分布列和均值；
（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
21．（本小题满分14分）
一种作图工具如图1所示．
是滑槽
的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且
，
．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为
轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线
与两定直线
和
分别交于
两点．若直线
总与曲线
有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若
存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分14分）
已知数列的各项均为正数，
，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数
的单调区间，并比较
与e的大小；
（Ⅱ）计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令
，数列，的前
项和分别记为,, 证明：
.
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B
二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）
11．9 12．2 13．
14．（Ⅰ）
；（Ⅱ）①②③ 15．
16．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
17．（11分）
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得
. 数据补全如下表：
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0 |
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0 |
5 |
0 |
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0 |
且函数表达式为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得
.
因为
的对称中心为
，
.
令
，解得
， .
由于函数的图象关于点成中心对称，令
，
解得
，. 由
可知，当
时，取得最小值
.
18．（12分）
（Ⅰ）由题意有，
即
解得
或
故
或
（Ⅱ）由，知
，
，故
，于是
， ①
. ②
①-②可得
，
故
.
19．（12分）
（解法1）
（Ⅰ）因为底面，所以
，
由底面为长方形，有
，而
，
所以
. 而
，所以
.
又因为
，点是的中点，所以
.
而
，所以
平面
. 而
，所以
.
又
，
，所以
平面.
由平面，平面，可知四面体
的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为
.
（Ⅱ）如图1，在面内，延长
与
交于点
，则
是平面与平面
的交线. 由（Ⅰ）知，
，所以
.
又因为底面，所以
. 而
，所以
.
故
是面与面所成二面角的平面角，
设
，
，有
，
在Rt△PDB中, 由
, 得
,
则 
, 解得
.
所以
故当面与面所成二面角的大小为时，
.
（解法2）
（Ⅰ）如图2，以
为原点，射线
分别为
轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则
，
，点是的中点，所以
，
，
于是
，即.
又已知，而，所以.
因
, 
, 则, 所以
.
由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.
（Ⅱ）由
，所以
是平面的一个法向量；
由（Ⅰ）知，，所以
是平面的一个法向量.
若面与面所成二面角的大小为，
则
，
解得. 所以
故当面与面所成二面角的大小为时，.
20．（12分）
（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为
，相应的获利为
，则有
（1）
目标函数为 
． &n
