时间:2015-06-15 12:41:32
当
时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为
．
将
变形为
，
当
时，直线
：在
轴上的截距最大，
最大获利
．
当
时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为
．
将变形为，
当
时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利
．
当
时，（1）表示的平面区域如图3，
四个顶点分别为
.
将变形为，
当
时，直线：在轴上的截距最大，
最大获利
．
故最大获利
的分布列为
|
|
8160 |
10200 |
10800 |
|
|
0.3 |
0.5 |
0.2 |
因此，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率
，
由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
21．（14分）
（Ⅰ）设点
，
，依题意，
，且
，
所以
，且
即
且
由于当点
不动时，点
也不动，所以
不恒等于0，
于是
，故
，代入
，可得
，
即所求的曲线
的方程为
（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为
或
，都有
.
（2）当直线的斜率存在时，设直线
，
由
消去，可得
.
因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，
所以
，即
. ①
又由
可得
；同理可得
.
由原点
到直线
的距离为
和
，可得
. ②
将①代入②得，
.
当
时，
；
当
时，
.
因，则
，
，所以
，
当且仅当
时取等号.
所以当时，
的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.
22．（14分）
（Ⅰ）
的定义域为
，
.
当
，即
时，单调递增；
当
，即
时，单调递减.
故的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
当时，
，即
.
令
，得
，即
. ①
（Ⅱ）
；
；
.
由此推测： 
②
下面用数学归纳法证明②.
（1）当
时，左边
右边
，②成立.
（2）假设当
时，②成立，即
.
当
时，
，由归纳假设可得
.
所以当时，②也成立.
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.
（Ⅲ）由
的定义，②，算术-几何平均不等式，
的定义及①得
.
即
.
