2015年高考真题——理科数学（湖南卷） Word版
时间:2015-06-15 07:16:51
９．将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象，若对满足
的
有
，则
＝（ ）
A.
B.
C.
D.
10．某工件的三视图如图３所示.现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为
A.
B.
C.
D. 
二、填空题：本小题共５小题，每小题５分，共２５分.
11．
＝ .
12．在一次马拉松比赛中，３５名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图４所示：
若将运动员按成绩由好到差编为１～35号，再用系统抽样方法从中抽取７人，则其中成绩在区间
上的运动员人数是 .
13．设
是双曲线
的一个焦点.若
上存在点
，使线段
的中点恰为其虚轴一个端点，则的离心率为 .
14．设
为等比数列
的前
项和.若
且
成等差数列，则
＝ .
15．已知函数
，若存在实数
，使函数
有两个零点，则
的取值范围是 .
三、解答题：本大题共６小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
本小题设有I，II，III三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内.如果全做，则按所做的前两题计分.
I．（本题满分６分）选修４－１：几何证明选讲
如图５，在
中，相交于点
的两弦
的中点分别是
，直线
与直线
相交于点，证明：
（i）
（ii）
II．（本题满分６分）选修４－４：坐标系与参数方程
已知直线
（
为参数）.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（i）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（ii）设点
的直角坐标为
，直线
与曲线的交点为
，求
的值.
III．（本题满分６分）选修４－５，不等式选讲
设
且
，证明：
（i）
（ii）
不可能同时成立.
17．（本小题满分12分）
设
的内角
的对边分别为
，
，且
为钝角.
（I）证明：
；
（II）求
的取值范围.
18．（本小题满分12分）
某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有４个红球、６个白球的甲箱和装有５个红球、５个白球的乙箱中，各随机摸出１个球.在摸出的２个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有１个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（I）求顾客抽奖１次能获奖的概率；
（II）若某顾客有３次抽奖机会，记该顾客在３次抽奖中获一等奖的次数为
，求的分布列和数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图６，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为３和６的正方形.
且
底面
，点
分别在棱
上.
（I）若是
的中点，证明：
（II）若
平面
，二面角
的余弦值为
，求四面体
的体积.
20．（本小题满分12分）
已知抛物线
的焦点也是椭圆
的一个焦点，
与
的公共弦的长为
.
（I）求的方程；
（II）过点的直线与相交于两点，与相交于
两点，且
与
同向.
（i）若
，求直线的斜率；
（ii）设在点
处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，
总是钝角三角形.
21．（本小题满分12分）
已知
，函数
，记
为
的从小到大的第
个极值点.证明：
（I）数列
是等比数列；
（II）若
，则对一切
，
恒成立.