时间:2015-06-11 07:22:49
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
第I卷（共50分）
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
2、若复数
满足
，其中
为虚数单位，则
（A）
（B）
（C）
（D）
3、设
，则
的大小关系是
（A）
（B）
（C）
（D）
4、要得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（A）向左平移
个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移
个单位 （D）向右平移个单位
5、设
，命题“若
，则方程
有实根”的逆否命题是
（A）若方程有实根，则
（B） 若方程有实根，则
（C） 若方程没有实根，则
（D） 若方程没有实根，则
6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为
（A） ①③ （B） ①④ （C） ②③ （D） ②④
7、在区间
上随机地取一个数
，则事件“
”发生的概率为
（A）
（B）
（C）
（D）
8、若函数
是奇函数，则使
成立的的取值范围为
（A）
（B）
（C）
（D）
9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
10.设函数
若
，则
（A）1 （B）
（C） （D）
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行右边的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的
的值是 .
（12）若
满足约束条件
则
的最大值为 .
（13）过点
作圆
的两条切线，切点分别为A，B，则
.
（14）定义运算“
”：
.当
时，
的最小值为 .
（15）过双曲线
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为
则
的离心率为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分
16．（本小题满分12分）
某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：
|
|
参加书法社团 |
未参加书法社团 |
|
参加演讲社团 |
8 |
5 |
|
未参加演讲社团 |
2 |
30 |
（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学
， 3名女同学
，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求
被选中且
未被选中的概率。
17．（本小题满分12分）
中，角
所对的边分别为，已知
，
，求
和
的值.
18．（本小题满分12分）
如图，三棱台
中，
分别为
的中点，
（I）求证：
平面
；
（II）若
，求证：平面
平面.
19．（本小题满分12分）
已知数列
是首项为正数的等差数列，数列
的前
项和为
。
（I）求数列的通项公式；
（II）设
，求数列
的前项和
.
20．（本小题满分13分）
设函数
，已知曲线
在点
处的切线与直线
平行，
（I）求
的值；
（II）是否存在自然数
，使的方程
在
内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；
（III）设函数
表示
中的较小值），求
的最大值.
21. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆上，
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆
，
为椭圆上任意一点，过点的直线
交椭圆E于
两点，射线
交椭圆E于点
，
（i）求
的值；
（ii）求
面积的最大值。
1C 2A 3C 4B 5D 6B 7A 8C 9B 10D
11.13 12.7 13.
14.
15.2+
16.（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有
人，故至少参加上述一个社团的共有
人，所以从该班级随机选
名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为
(2)从这
名男同学和
名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
，共
个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.
事件“
被选中且
未被选中”所包含的基本事件有：
，共
个.
因此被选中且未被选中的概率为
.
17.在
中，由
，得
.
因为
，所以
，
因为
，所以
，为锐角，
，
因此
.
由
可得
，又
，所以
.
18（I）证法一：连接
设
,连接
，在三棱台
中，
分别为
的中点，可得
，所以四边形
是平行四边形，则
为
的中点，又
是
的中点，所以
,
又
平面，
平面，所以
平面.
证法二：在三棱台中，由
为的中点，
可得
所以
为平行四边形，可得
在
中，
分别为
的中点，
所以
又
，
所以平面
平面
，
因为
平面，
所以平面.
(II)证明：连接
.因为分别为的中点，所以由
得
，又为的中点，所以
因此四边形
是平行四边形，所以
又
，所以
.
又
平面
，
，所以
平面，
又
平面
，所以平面
平面
19（I）设数列
的公差为
，
令
得
，得到 
.
令
得
，得到 
.
解得
即得解.
（II）由（I）知
得到 
从而
利用“错位相减法”求和.
试题解析：（I）设数列的公差为，
令得，所以.
令得，所以.
解得，所以
（II）由（I）知所以
所以
两式相减，得
所以
20（I）由题意知，曲线
在点处的切线斜率为，所以
，
又
所以
.
（II）
时，方程
在
内存在唯一的根.
设
当
时，
.
又
所以存在
，使
.
因为
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
单调递增.
所以时，方程在
内存在唯一的根.
（III）由（II）知，方程在内存在唯一的根
，且
时，
，
时，
，所以
.
当时，若
若
由
可知
故
当时，由
可得
时，
单调递增；时，
单调递减；
可知
且
.
综上可得函数的最大值为
.
21.（