时间:2015-05-02 21:31:30
平面
，
又∵
平面，∴
.
又∵
平面
，
∴
平面
,又∵平面
，
∴平面
平面.
（2）∵
，
为
的中点，∴
.
又∵平面
，且
平面，∴
.
又∵
平面，
，∴
平面.
由（1）知，平面，∴
∥
.
又∵平面
平面，∴直线
平面.
17. 如图，在平面直角坐标系
中，过坐标原点的直线交椭圆
于
两点，其中点
在第一象限，过作
轴的垂线，垂足
为
，连结
，并延长交椭圆于点
，设直线
的斜率为
.
（1）当
时，求点到直线
的距离；
（2）对任意
，求证：
.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、
直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运
算求解能力、推理论证能力．本题属中等题
【参考答案】
(1)直线的方程为
,代入椭圆方程得
,解得
因此
,于是
,直线的斜率为
,
故直线的方程为
.
因此，点到直线的距离为
.
(2)解法一：将直线的方程
代人,解得
记
,则
,于是
,从而直线的斜率为
,其方程为
.
代入椭圆方程得
,解得
或
.因此
,于是直线
的斜率
,因此
所以
解法二：设
,则
且
设直线PB，AB的斜率分别为
因为C在直线AB上，所以
从而
因此
所以
18. 如图,为了保护河上古桥
,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),
.
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？
【解析】本题主要考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力和运算求解能力，考查考生的数学应用意识．本题属中等题．
【参考答案】
解法一：
(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－
.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=
.
设点B的坐标为(a,b)，则k BC=
k AB=
解得a=80，b=120. 所以BC=
.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为
，即
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即
.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以
即
解得
故当d=10时,
最大，即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.
因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=
，cos∠FCO=
.
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=
.
CF=
,从而
.
因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，
又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==
，从而BC=CF－BF=150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半
径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =
所以.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
所以即解得
故当d=10时,最大，即圆面积最大.
所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.
19. 已知
是实数，函数
和
是
的导函数，若
在区间I上恒成立，则称
和
在区间
I上单调性一致
（1）设
，若函数和在区间
上单调性一致,求实数
的取值范围；
（2）设
且
，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值
【解析】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数
形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．本题属难题．
【参考答案】
(1)由题意知
在上恒成立，因为，故
，
进而
，即
在区间上恒成立，所以
因此的取值范围是
.
(2)令
,解得
,若
,由
得
又因为
,所以函数和在
上不是单调性一致的．
因此
现设
当
时,
；当
时,
因此，当时,
故由题设得
且
,从而
,于是
.
因此
且当
时等号成立,
又当时,
从而当
时,
,故函数和在
上单调性一致.
因此的最大值为
.
20. 设M为部分正整数组成的集合，数列
的首项
，前n项和为
，已知对任意整数k属于M，当n>k时，
都成立.
（1）设M=｛1｝，
，求
的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式.
【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项的和等基础知识，考查学生的探索与推理能力．本题属难题．
【参考答案】
（1）
即：
所以，n>1时，
成等差，而
，
（2）由题意：
，
当
时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得： 
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：
成等差，
成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：
成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
B．附加题部分
1．选修
几何证明选讲
如图，是圆
的直径，
为圆上一点，过点作圆的切线
交的延长线于点,若
,求证:
【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识，如三角形的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能力．本题属容易题．
【参考答案】
连结
,因为是圆的直径，
所以
因为
是圆的切线，
所以
,又因为
所以
于是
≌
从而
即
得
故
2．选修
矩阵与变换
已知矩阵
，求矩阵
。
【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题．
【参考答案】设矩阵A的逆矩阵为
,则
=
，
即
=，
故a=-1，b=0，c=0，d=
从而矩阵A的逆矩阵为
,
所以=
=
3．选修
坐标系与参数方程
在极坐标中，已知圆
经过点
，圆心为直线
与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。本题属容易题．
【参考答案】
∵圆圆心为直线与极轴的交点，
∴在中令
，得
。
∴圆的圆心坐标为（1，0）。
∵圆经过点，∴圆的半径为
。
∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为
。
4．选修
不等式选讲
已知是非负实数，求证：
【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题．
【参考答案】
由是非负实数，作差得
当
时，
从而
得
当
时，
,从而
得
所以
5. 如图，在正四棱柱
中，
，点
是
的中点，
点
在
上，设二面角
的大小为
.
（1）当
时，求
的长；
（2）当
时，求
的长。
【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间
向量解决问题的能力．本题属中等题．
【参考答案】
建立如图所示的空间直角坐标系
。
设
，则各点的坐标为
所以
，
.设平面
的法向量为
，则
,
即
，令
,则
所以
是平面的一个法向量.
设平面
的法向量为
,则
即
,令
,则
所以
是平面的一个法向量,从而
(1)因为
,所以
解得
,从而
所以
(2)因为
所以
因为
或
,所以
,解得
或
.
根据图形和(1)的结论可知,从而的长为.
6. 已知函数
，设
为
的导数，
．
（1）求
的值；
（2）证明：对任意的，等式
成立．
【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识，考查探究能力及推理论证．本题属难题，
【参考答案】
(1)由已知，得
于是
所以
故
(2)证明：由已知，得
等式两边分别对x求导，得
，
即
，类似可得
，
，
.
下面用数学归纳法证明等式
对所有的
都成立.
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
(ii)假设当n=k时等式成立, 即
.
因为
，
所以
.
所以当n=k+1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.
令
，可得
().
所以
().