sp;                      ②

又                       ，                    ③

而，，，所以与共线等价于

．

将②③代入上式，解得．

由(Ⅰ) 知或，故没有符合题意的常数k．

10．(Ⅰ) 由椭圆定义知，

，

所以．

又由已知，c=1，

所以椭圆C的离心率．

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，椭圆C的方程为=1．

设点Q的坐标为(x,y)．

（1） 当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1），（0，-1）两点，

此时点Q的坐标为．

（2） 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2．

因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x₁, kx₁+2)，(x₂,kx₂+2)，则

|AM|²=，|AN|²=．

又 |AQ|²==，

由，得

，即

．             ①

将y=kx+2代入=1中，得

．                             ②

由△=，得．

由②可知，，，

代入①中并化简，得 x²=．          ③

因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简，得

．

由③及k²>，可知0<x²<，即．

又满足，故．

由题意，点Q（x，y）在椭圆C内，所以-1≤y≤1．

又由，有

且-1≤y≤1，则.

所以，点Q的轨迹方程为，其中，．

11．由已知得圆M的圆心为M（-1,0），半径；圆N的圆心为N（1,0），半径．

设圆P的圆心为P（x,y）,半径为R．

(Ⅰ) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以

．

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为．

(Ⅱ) 对于曲线C上任意一点，

由于，所以R2，

当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R=2，所以当圆P的半径最长时，

其方程为．

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得．

若l的倾斜角不为90°，则知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，

则，可求得Q（-4,0），所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切，

解得k=±.

当k=时，将y=x+代入，并整理得，

解得，所以.

当k=时，由图形的对称性可知，.

综上所述，.

12．(Ⅰ) 由已知可得

解得，，

所以椭圆C的标准方程是．

(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)可得，F的坐标是，设T点的坐标为．

则直线TF的斜率k_TF．

当时，直线PQ的斜率k_PQ．直线PQ的方程是．

当时，直线PQ的方程是，也符合的形式．

设，，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得，

其判别式．

所以，，

．

所以PQ的中点M的坐标为．

所以直线OM的斜率k_OM ，

又直线OT的斜率k_OT ，所以点M在直线OT上，

因此OT平分线段PQ．

（ⅱ）由（ⅰ）可得，

|TF|，

|PQ|

．

所以≥．

当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．

所以当最小时，T点的坐标是或．

13．(Ⅰ) 对函数求导，可得．

令得．

故,且有．

因此，．

由此可得，．

记，则，

所以在上单调递增．

即当时，；当时，．

综上所述，的解析式为，且单调递增区间为，单调递减区间为．

(Ⅱ) 记．

由已知，可得．

（1）当时，当且时，，与矛盾．

（2）当时，．

（3）当时，

对求导可得．

若，则；若，则．

故当时，．

则有．

令，则．

当时，；当时，．

所以，当时，；

从而．

当时，．

综上，的最大值为．

14．(Ⅰ) 函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和．

(Ⅱ) 由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,

故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有．

当x<0时，对函数f(x)求导，得．

因为时， 所以，

所以，．

因此，

当且仅当，即时等号成立．

所以，函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，的最小值为1．

(Ⅲ) 当或时，，故．

当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为

，即．

当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为

，即．

两切线重合的充要条件是

由①及知，．

由①②得，．

设，则．

所以，是减函数．

则，

所以．

又当且趋近于-1时，无限增大，

所以a的取值范围是．

故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是．

15．(Ⅰ) 由，有．

所以．

因此，当时，．

当≤时，≥0，所以在上单调递增，

因此在上的最小值是；

当≥时，≤0，所以在上单调递减，

因此在上的最小值是；

当＜时，令，得．

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

于是，在上的最小值是．

综上所述，当≤时，在上的最小值是；

当＜时，在上的最小值是；

当≥时，在上的最小值是．

 (Ⅱ) 设为在区间(0,1)内的一个零点，则由可知，

在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则不可能恒为正，也不可能恒为负．

故在区间内存在零点．

同理在区间内存在零点．

所以在区间内至少有两个零点．

由(Ⅰ)知，当≤时，在上单调递增，故在内至多有一个零点．

当≥时，在上单调递减，故在内至多有一个零点．

所以＜＜．

此时在区间上单调递减，在区间上单调递增．

因此，，必有

＞0，＞0．

由有＜2，有

＞0，＞0．

解得 ＜＜1．

当＜＜1时，在区间内有最小值．

若≥0，则≥0（），

从而在区间单调递增，这与矛盾，所以＜0．

又＞0，＞0，

故此时在和内各只有一个零点和．

由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

所以＞，＜，

故在内有零点．

综上可知，a的取值范围是．

16.(Ⅰ) =，等号仅当时成立．

所以在单调递增．

(Ⅱ) =，

==．

( i ) 当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增．而=0，所以对任意．

( ii ) 当时，若满足，即时，

＜0．而=0，因此当时，＜0，不满足题意．

综上，b的最大值为2.

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，.

当b=2时，＞0；＞＞0.6928；

当时，，

=＜0，＜＜0.6934．

所以的近似值为0.693．

 

 

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