时间:2016-03-06 19:05:35
（II）
原方程组等价为
，即
，
。
的通解为
，
为任意常数。
(21) (本题满分11 分)
已知二次型
在正交变换
下的标准型为
，且
的第3列为
.
(I) 求矩阵
；
(II) 证明
为正定矩阵，其中
为3阶单位矩阵
【考点】实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，二次型的标准形的概念，正定矩阵的判别法
【详解】本题涉及到的主要知识点
含有n个变量
的二次齐次多项式
称为n元二次型。令
，
，则二次型可用矩阵乘法表示为
，
其中A是n阶实对称矩阵（
），称A为二次型
的矩阵，矩阵A的秩r(A)称为二次型的秩。
如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是零，则成为标准型。
对二次型
，如对任何x不为0，恒有>0,则称二次型为正定二次型。
在本题中，
（1）由于二次型在正交变换下的标准形为，所以的特征值为
。
由于的第3列为
，所以对应于
的特征向量为，记
。
由于是实对称矩阵，所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的，设属于
的特征向量为
，则
，即
。取
，
则
为对应于的特征向量。
方法一：由
，两边取转置，得
。
解此矩阵方程：
所以，
。
方法二：
由于是相互正交的，所以只需单位化：
。
取
，则
，
。
（II）也是实对称矩阵，的特征值为1，1，0，所以的特征值为2，2，1，由于的特征值全大于零，故是正定矩阵。
(22) (本题满分11 分)
设二维随机变量
的概率密度为
，
，
，
求常数及条件概率密度
【考点】二维连续型随机变量的条件密度，二维正态分布的概率密度
【详解】本题涉及到的主要知识点
连续型随机变量的条件概率分布：
（1）设(X,Y)~f(x,y)，若对于固定的y，边缘概率密度
,则称
为在Y=y的条件下的X的条件概率密度，记为
。
（2）同样，设
，则称
为在X=x的条件下的Y的条件概率密度，记为
。
二维正态分布的概念：
如果二维连续型随机变量（X,Y）的联合概率密度为
则称（X,Y）服从参数为
的二维正态分布，记为（X,Y）~N().其中均为常数且
。
在本题中，
利用概率密度的性质得到
因为，
；
同理，
，所以
(利用正态分布的概率密度为1，即
)，得到
即
的边缘概率密度为
条件概率密度
(23) (本题满分11分)
设总体的概率分布为
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
其中
未知，以
表示来自总体的简单随机样本(样本容量为
)中等于
的个数(
).试求常数
，使
为
的无偏估计量，并求
的方差.
【考点】常用抽样分布，估计量的无偏性
【详解】本题涉及到的主要知识点
对于总体X的n次独立重复观测，称为来自总体X的n此简单随机抽样。
随机变量数学期望的性质：
方差的定义及性质：设X是一个随机变量，若
存在，则称为X的方差，记为D（X）。若X和Y相互独立，则
.
在此题中，
因为是的无偏估计量，所以
即得
整理得到
所以统计量
