时间:2016-03-06 13:30:15
，
在上式中取f(x)为
，g(x)为
即可.
九 、（本题满分10分）
设矩阵
，
，
，求B+2E的特征值与特征向量，其中
为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.
【分析】 可先求出
，进而确定及B+2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量.
【详解】 方法一：
经计算可得
， 
，
=
.
从而
，
，
故B+2E的特征值为
当
时，解
，得线性无关的特征向量为
所以属于特征值的所有特征向量为
，其中
是不全为零的任意常数.
当
时，解
，得线性无关的特征向量为
，
所以属于特征值的所有特征向量为
，其中
为任意常数.
方法二：设A的特征值为
，对应特征向量为
，即 
. 由于
，所以
又因 
，故有 
于是有 
，
因此，
为B+2E的特征值，对应的特征向量为
由于 
，
故A的特征值为
当
时，对应的线性无关特征向量可取为
， 
当
时，对应的一个特征向量为
由 ，得
，
，
.
因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.
对应于特征值9的全部特征向量为
，其中是不全为零的任意常数；
对应于特征值3的全部特征向量为
，其中
是不为零的任意常数.
【评注】 设
，若是A的特征值，对应特征向量为，则B与A有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值的特征向量为
本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.
十 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
，
，
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.
【详解】 方法一：必要性
设三条直线
交于一点，则线性方程组
(*)
有唯一解，故系数矩阵
与增广矩阵
的秩均为2，于是
由于 
=
,
但根据题设 
，故
充分性：由
，则从必要性的证明可知，
，故秩
由于
=
，
故秩(A)=2. 于是，
秩(A)=秩
=2.
因此方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.
方法二：必要性
设三直线交于一点
，则
为Ax=0的非零解，其中
于是 
.
而 
=
,
但根据题设 ，故
充分性：考虑线性方程组
(*)
将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组
(* *)
因为
=-
,
故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.
【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.
十一 、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
(1) 乙箱中次品件数的数学期望；
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.
【详解】 (1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为
， k=0,1,2,3.
即 X 0 1 2 3
P 
因此
(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于
，
，
，
构成完备事件组，因此根据全概率公式，有
=
=
【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：
设
则
的概率分布为
0 1
P 
因为
，所以
十二 、（本题满分8分）
设总体X的概率密度为
其中
是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本
，记
(1) 求总体X的分布函数F(x);
(2) 求统计量
的分布函数
；
(3) 如果用作为
的估计量，讨论它是否具有无偏性.
【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量的分布函数，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验
是否成立.
【详解】 (1)
(2) 
=
=
=
=
(3) 概率密度为
因为 
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