时间:2016-03-06 13:13:08
1999考研数一真题及答案解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)
(1)
(2)
(3) 的通解为
(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的个特征值是
(5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件:
则
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。每小题给出得四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选项前的字母填在提后的括号内。)
(1)设是连续函数,
是
的原函数,则 ( )
(A) 当是奇函数时,
必是偶函数。
(B) 当是偶函数时,
必是奇函数。
(C) 当是周期函数时,
必是周期函数。
(D) 当是单调增函数时,
必是单调增函数。
(2)设其中
是有界函数,则
在
处 ( )
(A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导 (D)可导
(3) 设其中
则
等于 ( )
(A) (B)
(C)
(D)
(4)设A 是矩阵, B 是
矩阵,则
(A)当时,必有行列式
(B)当
时,必有行列式
(C)当时,必有行列式
(D)当
时,必有行列式
(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N和N
,则
(A) (B)
(C) (D)
三、(本题满分5分)
设,
是由方程
和
=0所确定的函数,其中
和
分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求
。
四、(本题满分5分)
求其中a,b 为正常数, L 为从点A
沿曲线
到点O
的弧.
五、 (本题满分6分)
设函数二阶可导,且
,
.过曲线
上任意一点
作该曲线的切线及
轴的垂线,上述两直线与
轴所围成的三角形的面积记为
,区间
上以
为曲边的曲边梯形面积记为
,并设
恒为1,求此曲线
的方程.
六、(本题满分6分)
试证:当时,
七、(本题满分6分)
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口
见图,已知井深30m,抓斗自重
, 缆绳每米重
,抓斗抓
起的污泥重,提升速度为
,在提升过程中,污泥以
的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重
力需作多少焦耳的功?(说明:①其中
分别表示
米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不
计.)
八、(本题满分7分)
设S 为椭球面的上半部分,点P
∈S,π为S 在点P 处的切平面,
为点O
到平面π的距离,求
九、(本题满分7分)
设
(1) 求的值;
(2) 试证:对任意的常数λ>0, 级数收敛
十、(本题满分8分)
设矩阵其行列式
又A 的伴随矩阵
有一个特征值
,属于
的一个特征向量为
求
和
的值.
十一、(本题满分6分)
设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,为B的转置矩阵,试证:
为正定矩阵的充分必要条件是B的秩
.
十二、(本题满分8分)
设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
十三、(本题满分6分)
设总体X 的概率密度为
是取自总体X 的简单随机样本.
(1) 求θ的矩估计量
(2) 求的方差
1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.把正确答案填写在题中横线上.)
(1)【答案】
【分析】利用的等价变换和洛必达法则求函数极限.
【详解】
方法1:
方法2:
(2)【答案】
【分析】欲求,唯一的办法是作变换,使含有
中的
“转移”到
之外
【详解】令,则
,所以有
(3)【答案】其中
为任意常数.
【分析】先求出对应齐次方程的通解,再求出原方程的一个特解.
【详解】原方程对应齐次方程的特征方程为:
解得
,故
的通解为
由于非齐次项为因此原方程的特解可设为
代入原方程可求得
,故所求通解为
(4)【详解】因为
(对应元素相减)
两边取行列式,
令,得
,故矩阵A的n个特征值是n和0(
重)
(5)【答案】
【详解】根据加法公式有
因为,设
由于两两相互独立,所以有
,
,
,
又由于,因此有
所以
又,从而
,则有
,解得
因,故
,即
二、选择题
(1)【答案】( A )
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.
的原函数
可以表示为
于是
当为奇函数时,
,从而有
即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项.
(B)、(C)、(D)可分别举反例如下:
是偶函数,但其原函数
不是奇函数,可排除(B);
是周期函数,但其原函数
不是周期函数,可排除(C);
在区间
内是单调增函数,但其原函数
在区间
内非单调增函数,可排除(D).
(2)【答案】( D )
【详解】由于可导必连续,连续则极限必存在,可以从函数可导性入手.
因为
从而,存在,且
,故正确选项为(D).
(3)【答案】( C )
【详解】由题设知,应先将从[0,1)作偶延拓,使之成为区间[−1,1]上的偶函数,然后再作周期(周期2)延拓,进一步展开为傅里叶级数,
而是
的间断点,按狄利克雷定理有,
(4)【答案】B
【详解】
方法1:是
矩阵,
是
矩阵,则
是
阶方阵,因
.
当时,有
. (
的系数矩阵的秩小于未知数的个数),故有行列式
,故应选(B).
方法2:是
矩阵, 当
时, 则
(系数矩阵的秩小于未知数的个数) ,方程组
必有非零解,即存在
,使得
,两边左乘
,得
,即
有非零解,从而
,故选(B).
方法3:用排除法
(A),取
,
,(A)不成立
(C),取
,
,(C)不成立
(D),取
,
,(D)不成立,故选(B).
(5)【答案】B
【详解】 根据正态分布的性质:服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.
因相互独立,且
,
,所以
,
其中,
,
,
由期望的性质:,
由独立随机变量方差的性质:
所以 ,
(一般来说遇到正态分布的小题,主要就考两点,标准化和对称性,考虑问题也是从这两点出发)
A选项: 因
由标准化的定义:若,则
所以,,将其标准化有
(保证变换过程中概率不变,所以不等号的左边怎么变,右边也同样的变化)
又因为标准正态分布图像是关于轴对称,所以
,而
,所以A错.
B选项:
将其标准化有:(根据标准正态分布的对称性)
故B正确.
C选项:
将其标准化有:,故C错.
D选项:
将其标准化有:,故D错.
三【详解】分别在和
的两端对
求导数,得
整理后得
解此方程组,得
四【详解】
方法1:凑成闭合曲线,应用格林公式.
添加从点
沿
到点
的有向直
线段, 如图,则
利用格林公式,前一积分
其中D为+L所围成的半圆域,后一积分选择
为参数,得
:
可直接积分 ,故
方法2:将曲线积分分成两部分,其中一部分与路径无关,余下的积分利用曲线的参数方程计算.
前一积分与路径无关,所以
对后一积分,取的参数方程
,则
,
从
到
,得
从而
五【详解】如图,曲线上点
处的切线方程为
所以切线与
轴的交点为
由于因此
于是
又,
根据题设 即
两边对
求导并化简得
这是可降阶得二阶常微分方程,令则
,
则上述方程可化为分离变量得
,解得
即
从而有 ,根据
可得
故所求曲线得方程为
六【详解】构造函数,利用函数的单调性,
证法1:令 易知
又
可见,当时,
;当
时,
因此,为
的最小值,即当
时,
,