时间:2016-03-06 13:09:15
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设函数则
的零点个数
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
(2)函数在点
处的梯度等于
(A) (B)-
(C) (D)
(3)在下列微分方程中,以(
为任意常数)为通解的是
(A) (B)
(C) (D)
(4)设函数在
内单调有界,
为数列,下列命题正确的是
(A)若收敛,则
收敛 (B)若
单调,则
收敛
(C)若收敛,则
收敛 (D)若
单调,则
收敛
(5)设为
阶非零矩阵,
为
阶单位矩阵. 若
,则
(A)不可逆,
不可逆 (B)
不可逆,
可逆
(C)可逆,
可逆 (D)
可逆,
不可逆
(6)设 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 |
|
(7)设随机变量独立同分布且
分布函数为
,则
分布函数为
(A) (B)
(C) (D)
(8)设随机变量,
且相关系数
,则
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)微分方程满足条件
的解是
.
(10)曲线在点
处的切线方程为
.
(11)已知幂级数在
处收敛,在
处发散,则幂级数
的收敛域为
.
(12)设曲面是
的上侧,则
.
(13)设为2阶矩阵,
为线性无关的2维列向量,
,则
的非零特征值为
.
(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则
.
三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
求极限.
(16)(本题满分10分)
计算曲线积分,其中
是曲线
上从点
到点
的一段.
(17)(本题满分10分)
已知曲线,求曲线
距离
面最远的点和最近的点.
(18)(本题满分10分)
设是连续函数,
(1)利用定义证明函数可导,且
.
(2)当是以2为周期的周期函数时,证明函数
也是以2为周期的周期函数.
(19)(本题满分10分)
,用余弦级数展开,并求
的和.
(20)(本题满分11分)
,
为
的转置,
为
的转置.证明:
(1). (2)若
线性相关,则
.
(21)(本题满分11分)
设矩阵,现矩阵
满足方程
,其中
,
,
(1)求证.
(2)为何值,方程组有唯一解,求
.
(3)为何值,方程组有无穷多解,求通解.
(22)(本题满分11分)
设随机变量与
相互独立,
的概率分布为
,
的概率密度为
,记
,
(1)求.
(2)求的概率密度.
(23)(本题满分11分)
设是总体为
的简单随机样本.
记,
,
(1)证明是
的无偏估计量.
(2)当时 ,求
.