时间:2016-03-05 18:06:10
所以 
.
四、(本题满分6分.)
【解析】直接展开
相对比较麻烦,可
容易展开,
.
由
,令
得
即 
所以
,
当
时,式
均收敛,而左端
在
处无定义.
因此 
.
五、(本题满分7分.)
【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,
,
所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得
,
再求导,得
,即 
.
这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为
,
此特征方程的根为
,而右边的
可看作
,
为特征根,因此非齐次方程有特解
.
代入方程并比较系数,得
,故
,所以
,
又因为
,所以
,即
.
六、(本题满分7分.)
【解析】方法一：判定方程
等价于判定函数
与
的交点个数.
令 
,
其中
是定积分,为常数,且被积函数
在
非负,故
,为简化计算,令
,即
,
则其导数
,令
解得唯一驻点
,
即 
,
所以是最大点,最大值为
.
又因为
,由连续函数的介值定理知在
与
各有且仅有一个零点(不相同),故方程
在
有且仅有两个不同实根.
方法二： 
,
因为当
时,
,所以
,
其它同方法一.
七、(本题满分6分.)
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有
、
加到第二行和第三行上,再第二行乘以
加到第三行上, 有
.
由于方程组有解的充要条件是
,故仅当
,即
时,方程组有解.此时秩
,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.
由同解方程组 
令
解得原方程组的通解
(其中
为任意常数).
【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：
设
是
矩阵,线性方程组
有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵
的秩,即是(或者说,
可由的列向量
线表出,亦等同于与
是等价向量组)
设是矩阵,线性方程组,则
（1） 有唯一解 
（2） 有无穷多解 
（3） 无解 
不能由的列向量线表出.
八、(本题满分8分.)
【解析】(1)由
为的特征值可知,存在非零向量
使
,两端左乘
,得
.因为
,故
,于是有
.按特征值定义知
是的特征
值.
(2)由于逆矩阵的定义
,据第(1)问有 
,按特征值定义,即 
为伴随矩阵
的特征值.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设是
阶矩阵,若存在数及非零的维列向量
使得
成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.
九、(本题满分9分.)
【解析】由球的对称性,不妨设球面
的球心是
,
于是的方程是
.
先求与球面
的交线
：
.
代入上式得的方程 
.
它在平面
上的投影曲线
相应的在平面上围成区域设为
,则球面在定球面内部的那部分面积
.
将的方程两边分别对
求偏导得
,
所以 
.
利用极坐标变换
有
代入
,化简得
.
这是一个关于
的函数,求
在
的最大值点,两边对求导,并令
,得
,得
.
且 
,
故时取极大值,也是最大值.
因此,当时球面在定球面内部的那部分面积最大.
十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)
(1)【解析】
方法一：
.
方法二：
.
(2)【解析】设事件=“甲射中”,
=“乙射中”,依题意,
,
,
与相互独立,
.
因此,有 
.
.
(3)【解析】设事件=“方程有实根”,而方程
有实根的充要条件是其判别式
,即
.
随机变量
在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为
由分布函数的定义
,
而
所以由概率的可加性,有
.
【相关知识点】广义加法公式：.
条件概率：
,所以
.
十一、(本题满分6分.)
【解析】
,
,由独立的正态变量与
的线性组合仍服从正态分布,且
,
得 
.
代入正态分布的概率密度公式,有
的概率密度函数为 
.
【相关知识点】对于随机变量与均服从正态分布,则与的线性组合亦服从正态分布.
若与相互独立,由数学期望和方差的性质,有
,
,
其中
为常数.