时间:2016-03-05 17:24:04
2014年考研数学二真题附答案详解
１．当
时，若
，
均是比
高阶的无穷小，则
的可能取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．下列曲线有渐近线的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．设函数
具有二阶导数，
，则在
上（ ）
（A）当
时，
（B）当时，
（C）当
时， （D）当时，
4．曲线
上对应于
的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）
（Ｂ）
(Ｃ）
（Ｄ）
5．设函数
，若
，则
（ ）
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
6．设
在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足
及
，则（ ）．
（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；
（B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；
（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
7．行列式
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
8．设
是三维向量，则对任意的常数
，向量
，
线性无关是向量线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件
9．
．
10．设为周期为4的可导奇函数，且
，则
．
11．设
是由方程
确定的函数，则
．
12．曲线
的极坐标方程为
，则在点
处的切线方程为 ．
13．一根长为1的细棒位于轴的区间
上，若其线密度
，则该细棒的质心坐标
．
14．设二次型
的负惯性指数是1，则
的取值范围是 ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限
．
16．（本题满分10分）
已知函数
满足微分方程
，且
，求
的极大值和极小值．
17．（本题满分10分）
设平面区域
．计算
18．（本题满分10分）
设函数
具有二阶连续导数，
满足
．若
，求的表达式．
19．（本题满分10分）
设函数
在区间
上连续，且单调增加，
，证明：
（1）
；
（2）
．
20．（本题满分11分）
设函数
，定义函数列
，
，
设
是曲线
，直线
所围图形的面积．求极限
．
21．（本题满分11分）
已知函数
满足
，且
，求曲线
所成的图形绕直线
旋转所成的旋转体的体积．
22．（本题满分11分）
设
，E为三阶单位矩阵．
（1）求方程组
的一个基础解系；
（2）求满足
的所有矩阵．
，
23．（本题满分11分）
证明
阶矩阵
与
相似．
2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）B
（2）B
（3）D
（4）C
（5）D
（6）A
（7）B
（8）A
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）[-2,2]
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）【答案】
（16）【答案】
因为
，①
得到
，
，
。
所以
时，取极大值
。
时，取极小值
。
由①可知，
，
因为
，所以
，
。
所以时，取极大值
。
时，取极小值
。
（17）【答案】
（18）【答案】
令
，
则
，
故
由
得
（19）【答案】
证明：1）因为
，所以有定积分比较定理可知，
，即
。
2）令
由1）可知
，
所以
。
由
是单调递增，可知
由因为，所以
，
单调递增，所以
，得证。
（20）【答案】
因为
所以
所以
（21）【答案】
（22）【答案】①
②
（23）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。