，所以是曲线的垂直渐近线；

      ，

      ，所以是曲线的斜渐近线.

      故选（D）.

 

【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意当时的极限不同.

6……【分析】本题依据函数的性质，判断数列. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.

【详解】选（D）.

 取，，，而发散，则可排除（A）；

取，，，而收敛，则可排除（B）；

取，，，而发散，则可排除（C）；

      故选（D）.

事实上，

若，则.

      对任意，因为，所以，

      对任意，.

      故选（D）.

【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.

7…….【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系.

【详解】本题也可用排除法，（A）是函数在连续的定义；（B）是函数在处偏导数存在的条件；（D）说明一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0) 处连续，所以（A）（B）（D）均不能保证在点处可微. 故应选（C）.

     事实上，

           由可得

 ，即

同理有

从而   

          = .

根据可微的判定条件可知函数在点处可微，故应选(C).     

【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微.

8,……【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.

【详解】由题设可知，，则，

      故应选（B）.

【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.

9……..【分析】本题考查由线性无关的向量组构造的另一向量组的线性相关性. 一般令，若，则线性相关；若，则线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.

【详解】由可知应选（A）.

或者因为

，而，

       所以线性相关，故选（A）.

【评注】本题也可用赋值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.

10….【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得的特征值，并考虑到实对称矩阵必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.

【详解】 由可得，

       所以的特征值为3,3,0；而的特征值为1,1,0.

       所以与不相似，但是与的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以与合同，故选（B）.

【评注】若矩阵与相似，则与具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.

       所以通过计算与的特征值可立即排除（A）（C）.

11…【分析】本题为未定式极限的求解，利用洛必达法则即可.

【详解】

.

【评注】本题利用了洛必达法则. 本题还可用泰勒级数展开计算.

      因为 ，

      所以 .

12…..【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义.

【详解】因为，

所以曲线在对应于的点的切线斜率为，

故曲线在对应于的点的法线斜率为.

【评注】本题为基础题型.

13….【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.

【详解】，则，故.

【评注】本题为基础题型.

14…..【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解，然后求出非齐次微分方程的一个特解，则其通解为 .

【详解】对应齐次方程的特征方程为

             ，

      则对应齐次方程的通解为 .

      设原方程的特解为 ，代入原方程可得

               ，

      所以原方程的特解为，

      故原方程的通解为 ，其中为任意常数.

【评注】本题为基础题型.

15……【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可.

【详解】利用求导公式可得

，

，

              所以.

 

【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.

16……【分析】先将求出，然后利用定义判断其秩.

【详解】.

【评注】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型.

17……【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x求导，再积分即可.

【详解】 两边对求导得

           

，（）

两边积分得

.                                （1）

将代入题中方程可得 .

因为是区间上单调、可导的函数，则的值域为，单调非负，所以. 代入（1）式可得，故.

【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.

     

18…..【分析】V(a)的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求V(a) 的最值即可

【详解】（Ⅰ）

.

（Ⅱ）令，得.

      当时，，单调增加；

      当时，，单调减少.

      所以在取得极大值，即为最大值，且最大值为.

【评注】本题为定积分几何应用的典型问题，需记忆相关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等.

19…...

【分析】本题为不含的可降阶方程，令，然后求解方程.

【详解】本题不含，则设，于是，原方程变为

                      ，

      则 ，解之得，将代入左式得 ，

      于是 ，结合得，

      故  .

【评注】本题为基础题型.

20……….【分析】本题实质上是二元复合函数的求导，注意需用隐函数求导法确定..

【详解】令，则.

      两边对求导得 ，又，可得

      在两边对求导得

.

      所以

                 .

         

. 

【评注】也可利用两边对求导得

             

可得.

     21……【分析】由所证结论可联想到构造辅助函数，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.

【详解】令，则在上连续，在内具有二阶导数且.

（1）若在内同一点取得最大值，则，

     于是由罗尔定理可得，存在，使得

.

     再利用罗尔定理，可得  存在，使得，即.

（2）若在内不同点取得最大值，则，于是

           ，

     于是由零值定理可得，存在，使得

     于是由罗尔定理可得，存在，使得

.

     再利用罗尔定理，可得 ，存在，使得，即.

【评注】对命题为的证明，一般利用以下两种方法：

方法一：验证为的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；

        方法二：验证在包含于其内的区间上满足罗尔定理条件.

 22…..【分析】由于积分区域关于轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.

【详解】因为被积函数关于均为偶函数，且积分区域关于轴均对称，所以

         ，其中为在第一象限内的部分.

     而

.

     所以 .

【评注】被积函数包含时, 可考虑用极坐标，解答如下：

.

 

 

23……【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得.

【详