2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(二)试题

 

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)

1．设函数在处连续，则（               ）．

2．位于曲线（）下方，轴上方的无界图形的面积为（　　　　　）．

3．满足初始条件的特解是（              　　　　　 　       ）．

4．=（     　　　　　　　　　       ）．

5．矩阵的非零特征值是（  　　　　　   ）．

二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)

１．函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为０．１，则＝

　　　（Ａ）－１；　（Ｂ）０．１；

　　　（Ｃ）１；　　（Ｄ）０．５．

２．函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是

     (A)；    　　　　　 (B) ；

     (C) ； 　    (D) ．

３．设是二阶常系数微分方程满足初始条件的

　特解，则极限

　(A)不存在；　（Ｂ）等于１；     (C)等于２；   　 (D) 等于３．

４．设函数在上有界且可导，则

(A)当时，必有；

　（Ｂ）当存在时，必有；

     (C) 当时，必有； 

 　 (D) 当存在时，必有．

5．设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任意常数必有

（Ａ）线性无关；(B) 线性相关；

（Ｃ）线性无关；

　(D) 线性相关．

三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为，求该曲线对应于处的切线与法线的直角坐标方程．

四、（本题满分７分）设函数，

求函数的表达式．

五、（本题满分７分）已知函数在上可导，，，且满足

，求．

六、（本题满分７分）求微分方程的一个解，使得由曲线与直线以及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体的体积最小．

七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线

为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段

ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与

承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分

的高应为多少？

八、（本题满分８分）

设，（＝１，２，３，…）．

证明：数列｛｝的极限存在，并求此极限．

 

 

九、（本题满分８分）设，证明不等式．

 

 

十、（本题满分8分）设函数在＝０的某邻域具有二阶连续导数，且　　

．证明：存在惟一的一组实数，使得当时，

 

 

十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足．

⑵     明：矩阵可逆；

⑵若，求矩阵Ａ

 

 

十二、（本题满分６分）已知四阶方阵， 均为四维列向量，其中线性无关，．若，求线性方程组的通解．

 

 

 

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