时间:2016-03-05 16:09:22
22．（本题满分11分）
设
，E为三阶单位矩阵．
（1） 求方程组
的一个基础解系；
（2） 求满足
的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：
，
得到方程组同解方程组
得到的一个基础解系
．
（2）显然B矩阵是一个
矩阵，设
对矩阵
进行进行初等行变换如下：
由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
，
，
，
即满足的所有矩阵为
其中
为任意常数．
23．（本题满分11分）
证明
阶矩阵
与
相似．
【详解】证明：设
，
．
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
，
所以A的个特征值为
；
而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且
；
所以B的个特征值也为；
对于
重特征值
，由于矩阵
的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且
从而可知阶矩阵与相似．