时间:2016-09-28 14:37:42
同素分堆问题是求方法数问题的一种基本题型。它的最基本的模型是：
“把n个相同的元素分成m堆，每堆至少1个，问有多少中不同的分法?”
这里的“同素”即“相同的元素”，在这个模型中，最关键的是“每堆至少1个”这句话，必须是每堆至少一个，才可用我们接下来要讲的解决这类问题的方法：隔板法。
【例1】把10本相同的书分给3个班级，每班至少1个，问有多少种不同的分法?
【解析】本题中“同素”：是10本相同的书，故n=10;分给3个班级：即将书分成3堆，故m=3;每班至少1本。故本题为同素分堆问题的最基本的模型。
【解决方法】隔板法。把10本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。要把这10本书分成三堆，只要在这10本书形成的空隙中插入2个隔板即可。10本书排成一排，形成了11个空。但是，因为要求每班至少分一本书，所以最前面的空和最后一个空是不能插板的，则只能在中间形成的9个空中插入2个隔板，即从9个空中选择2个空插入隔板。即
种，也即把10本相同的书分给3个班级，每班至少1个，共有
种方法。
【例2】把10本相同的书分给3个班级，每班至少2本，问有多少种不同的分法?
【解析】题干要求的是“每班至少2本”。而应用隔板法解决同素分堆问题时，要求必须是“每堆至少1个”。因此想办法把“每班至少多于1个”转化成“每堆至少1个”，可以通过先每班分一本书，然后还剩7本书，此时题目转化成“把7本相同的书分给3个班级，每班至少一本，问有多少中不同的分法?”故有
种不同的分法。
【例3】把10本相同的书分给3个班级，三个班级分得的书数分别不小于1,2,3，问有多少种不同的分法?
【解析】应用隔板法解决同素要求必须是“每堆至少1个”。因此想办法把“每班至少多于1个”转化成“每堆至少1个”。其中三个班级先分别给0,1,2本书，然后还剩7本书，此时题目转化成“把7本相同的书分给3个班级，每班至少一本，问有多少中不同的分法?”故有
种不同的分法。【小结】把n个相同的元素分成m堆，每堆至少1个，有
不同的分法。然而，行测考试中直接考察这个公式的很少，题干中所给的条件不在是“每堆至少1个”，而是“每堆至少多于1个”，当问题这样变形后，就不能直接用隔板法解决了。在应用隔板法解决同素分堆问题时，一定要区分题干中要求是“每堆至少分多少”。如果是“每堆至少分1个”，可直接应用隔板法解题;如果“每堆至少分的多于1个”，则应该将其转化为“每堆至少分1个”的情况，再应用隔板法。