2013年硕士研究生入学考试数学二真题及答案

一、选择题

1.设cos x-1=x sin a(x)，其中｜a(x)｜<，则当x→0时，a（x）是（   ）

(A)比x高阶的无穷小              (B)比x低阶的无穷小

(C)与x同阶但不等价的无穷小      (D)与x等价的无穷小

2.设函数y=f(x)由方程cos(xy)+ln y-x=1确定，则=(   )

(A)2                             (B)1

(C)-1                            (D)-2

3.设函数f(x)= F(x)=则(   )

(A)x=是函数F(x)的跳跃间断点    (B) x=是函数F(x)的可去间断点

(C) F(x)在x=处连续但不可导      (D) F(x)在x=处可导

4.设函数f(x)=若反常积分f(x)dx收敛，则（   ）

(A)                          (B)

(C)                       (D)

5.设，其中函数f可微，则（   ）

(A)                    (B)

(C)                    (D)

6.设是圆域在第k象限的部分，

记，则（   ）

(A)                      (B)        

(C)                      (D)        

7.设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则

(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 

(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 来源：91考试网

8.矩阵相似的充分必要条件为（   ）

(A)a=0,b=2                       (B)a=0,b为任意常数

(C)a=2,b=0                         (D)a=2,b为任意常数

二、填空题

9.

10.设函数则y=f(x)的反函数在处的导数

11.设封闭曲线L的极坐标方程为，则L所围平面图形的面积是     

12.曲线上对应于t=1的点处的法线方程为____________

13.已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件的解为y=__________

14.设A=是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为的代数余子式，若,则｜A｜=______________

三、解答题：15~23小题，共94分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15.（10分）

当

16．（10分）

设D是由曲线绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积，若V_y=10Vx,求a的值 来源：91exam.org

17.（10分）

设平面区域D由直线x=3y，y=3xRx+y=8围成.计算

18．（10分）

设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数，且f(1)=1.证明：

（1）存在

（2）存在。

19.（10分）

求曲线短距离.

20.（11分）

设函数

（1）求f(x)的最小值.

（2）设数列{x_n}满足证明。

21．（11分）

设曲线L的方程为

（1）求L的弧长。

（2）设D是由曲线L，直线x=1,x=e及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标.

22.（11分）

设

。

23.（11分）

设二次型

(1)    证明二次型f对应的矩阵为

(2)    若..