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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设函数
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
(2)函数
(A)
(C)
(3)在下列微分方程中,以
(A)
(C)
(4)设函数
(A)若
(C)若
(5)设
(A)
(C)
(6)设 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 |
|
(7)设随机变量
(A)
(C)
(8)设随机变量
(A)
(C)
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)微分方程
(10)曲线
(11)已知幂级数
(12)设曲面
(13)设
(14)设随机变量
三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
求极限
(16)(本题满分10分)
计算曲线积分
(17)(本题满分10分)
已知曲线
(18)(本题满分10分)
设
(1)利用定义证明函数
(2)当
(19)(本题满分10分)
(20)(本题满分11分)
(1)
(21)(本题满分11分)
设矩阵
(1)求证
(2)
(3)
(22)(本题满分11分)
设随机变量
(1)求
(2)求
(23)(本题满分11分)
设
记
(1)证明
(2)当
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设函数,则的零点个数( )
0 1 2 3
解:.
分析:
,恒大于0,所以在上是单调递增的.
又因为,根据其单调性可知只有一个零点.
(2)函数在点处的梯度等于( )
解;.
分析:由
所以
(3)在下列微分方程中,以(为任意常数)为通解的是( )
. .
. .
解:.
分析;由可知其特征根为.
故对应的特征方程为
所以所求微分方程为, 选.
(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是( )
若收敛,则收敛. 若单调,则收敛.
若收敛,则收敛. 若单调,则收敛.
解:
分析:若单调,则由在内单调有界知,单调有界,
因此收敛,应选.
(5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵. 若,则( )
不可逆,不可逆. 不可逆,可逆.
可逆,可逆. 可逆,不可逆.
解:选
分析:,
故均可逆。
(6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为( )
0. 1. 2. 3.
解:选
分析:此二次曲面为旋转双叶双曲面,此曲面的标准方程为,故的正特征值个数为1。
(7)设随机变量独立同分布且分布函数为,则分