时间:2014-06-09 12:46:10
20．（本小题满分14分）已知椭圆
的一个焦点为
，离心率为
，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点
为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
21．（本小题满分14分） 设函数
，其中
，
（1）求函数
的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数在D上的单调性；
（3）若
，求D上满足条件
的
的集合（用区间表示）。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案 成本文 6/8/2014
１－８：CDBA BADD;
８.解：A中元素为有序数组
，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为
、仅2个数为或仅3个数为，所以共有
个不同数组；
9.
; 10.
; 11.
; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;
11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，
；
16.解：（1）
，
，
；
（2）
，
，
，
，又
，
，
．
17. 解：（1）
，
；
（2）样本
频率分布直方图为
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，
设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为
，则
，
，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．
18.（１）
平面
，
，又
，
，
平面
，
，又
，
平面
，即
；
（２）设
，则
中，
，又
，
，
，由（１）知
，
，
，又
，
，
，同理
，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
设
是平面
的法向量，则
，又
，
所以
，令
，得
，
，
由（１）知平面的一个法向量
，
设二面角
的平面角为
，可知为锐角，
，即所求．
19.解：
，
，又
，
，
，又
，
，
，
综上知
，
，
；
（２）由（１）猜想
，学科网下面用数学归纳法证明．
①当
时，结论显然成立；
②假设当
（
）时，
，
则
，又
，
，解得
，
，即当
时，结论成立；
由①②知，
．
20.解：（１）可知
，又
，
，
，
椭圆C的标准方程为
；
（２）设两切线为
，
①当
轴或
轴时，对应
轴或
轴，可知
②当
与轴不垂直且不平行时，
，设的斜率为
，则
，
的斜率为
，
的方程为
，联立，
得
，
因为直线与椭圆相切，学科网所以
，得
，
，
所以是方程
的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得
，其中，
所以点P的轨迹方程为
（
），
因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．
21.解：（１）可知
，
，
或
，
或
，
或
，
或
或
，
所以函数的定义域D为
；
（２）
，
由
得
，即
，
或
，结合定义域知或
，
所以函数的学科网单调递增区间为，
，
同理递减区间为
，；
（３）由
得
，
，
，
，
或
或
或
，
，
，
，
，
，
结合函数的单调性知的解集为
．